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[答1350] 円周上にできる角の総和

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1350] 円周上にできる角の総和


 円周上にn個の点をとって、そのうちの1点からもとの点に戻るまで、

 k個おきに次々と線分で結ぶとき、円周上にできる角の総和を f(n,k) と表すことにします。

 図のように、円周上に11個の点をとって、そのうちの1点からもとの点に戻るまで、

 2個おきに線分で結ぶとき、円周上にできる角の総和は 5π ですので、f(11,2)=5π です。

 では、f(773,348)=? また、f(777,k)=f(773,348),0<k<775/2 を満たすとき k=?

1350-角の総和0

[解答]

 まず、左回りにk個おき と 右回りに(n-2-k)個おき は、同じですので、

 f(n,k)=f(n,n-2-k) であることに注意しておきます。

 11個の点によって円周は 11個の弧に分けられています。

 2個おきに線分で結ぶと、円周上の1つの点の所でできる角は、弧5個分の円周角になります。

 できる11個の角の和は 弧55個分、円周5周分の円周角で、5π です。

1350-角の総和

 同様に、n個の点によって円周はn個の弧に分けられ、k個おき(k<n/2-1)に線分で結ぶと、

 円周上の1つの点の所でできる角は、弧(n-2-2k)個分の円周角になります。

 GCD(n,k+1)=g とすれば、(n/g)個の円周上の点が線分で結ばれることになり、

 できる(n/g)個の角の和は 弧 (n/g)(n-2-2k)個分、円周 (n-2-2k)/g 周分の円周角ですので、

 f(n,k)=(n-2-2k)π/g です。

 また、kを(n-2-k)に書き換えれば、n-2-2k は n-2-2(n-2-k)=-n+2+2k ですので、

 k>n/2-1 の場合も含めて、f(n,k)=|n-2-2k|π/g になります。

 よって、f(773,348)=(771-2・348)/1=75π (=13500゚) です。

 GCD(777,k+1)=g とすれば、

 f(777,k)=(777-2-2k)π/g=75π 、775-2k=75g 、

 gは777の約数で、75g<777 だから、g=1,3,7 、

 g=1 のとき k+1=351 ,g=3 のとき k+1=276 ,g=7 のとき k+1=126 で、

 このうち、GCD(777,k+1)=g を満たすのは、g=3 のときの k+1=276 ですので、k=275 です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

最初、既約でないとループになってしまうことが盲点でした ^^;
結局、777/3=259
259-75=184
184/2=92
92*3=276
so...275
としたと思いますが...他にない検証を怠ってましたわ ^^;...

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
どのようにして元の位置に戻るかを考えないといけません。
結局は整数の性質を考えることになりますね。

ニリンソウ  

ヤドカリさんには珍しい山の風景ですね。
湖も見えるし夕暮れ時なのでしょうか。
一番日の短い時ですからね

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
この写真は、夜明け前の高野川の様子です。
幻想的な風景で、カメラに収めました。
少し下ると鴨川に合流します。