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[答1351] 台形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1351] 台形の面積


 AB=16,AD=169 である 長方形ABCDがあります。

 AP=5,DQ=9 である 辺AB上の点P,辺DC上の点Qをつなぐ線分PQと、

 nを10以上の自然数として、AD(BC)をn等分するABに平行な線分でできる 2n個の台形のうち、

 頂点Aを含むものから交互にn個を塗ります。
1351-台形の面積
 塗ったn個の台形の面積の和を S として、Sが自然数となるとき (n,S)=?


[解答]

 ABと平行な辺を台形の上底および下底と考えれば 塗った台形すべての高さは 169/n です。

 塗った台形すべての上底および下底の和は

 nが奇数のとき AP+DQ+(n-1)AB=5+9+16(n-1)=16n-2 で、

 nが偶数のとき AP+QC+(n-1)AB=5+16-9+16(n-1)=16n-4 です。

 nが奇数のとき、S=(16n-2)(169/n)/2=169(8n-1)/n=1352-169/n で、

 nが偶数のとき、S=(16n-4)(169/n)/2=338(4n-1)/n=1352-338/n=1352-169/(n/2) です。

 n=13 または n/2=13 のとき S=1339 ,n=169 または n/2=169 のとき、S=1351 です。

 まとめて、(n,S)=(13,1339),(26,1339),(169,1351),(338,1351) です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

そっか!!...整数と分数式に分離して考えればよっかたのね ^^;v
計算なぜか何度もミスったのは式変形のせいもありましたし...
偶数と奇数で同じ値になるのが不思議だったのですが...納得です ^^☆

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
上底・下底の捉え方で式が簡単になることを
分かってほしい問題でした。