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[答1352] 三角形と内接円と辺の長さ

ヤドカリ

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[答1352] 三角形と内接円と辺の長さ


 図のように、△ABCと内接円と 内接円に外接し2辺に接する3個の円を考えます。

 内接円に外接する3個の円の半径の比が Aに近いもの,Bに近いもの,Cに近いものの順に、

 49:36:9 であるとき、AB/AC=?
1352-円の半径と辺の長さ0


[解答]

 内接円と BC,CA,AB との接点を D,E,F とし、内接円の半径を r 、内心を I とします。
1352-円の半径と辺の長さ
 内接円に外接する3個の円の半径を Aに近いもの,Bに近いもの,Cに近いものの順に a,b,c とすれば、

 1/cos∠AIF=(r+a)/(r-a) だから、

 tan∠AIF=√(1/cos2∠AIF-1)=√{(r+a)2/(r-a)2-1}=2√(ra)/(r-a) 、

 同様に、tan∠BID=2√(rb)/(r-b) ,tan∠CIE=2√(rc)/(r-c) になります。

 また、∠AIF+∠BID+∠CIE=π だから、

 tan∠AIF+tan∠BID+tan∠CIE=(tan∠AIF)(tan∠BID)(tan∠CIE) 、

 r:a:b:c=x:49:36:9 (x>49) とすれば、

 tan∠AIF=2√(49x)/(x-49) ,tan∠BID=2√(36x)/(x-36) ,tan∠CIE=2√(9x)/(x-9) 、

 tan∠AIF=(14√x)/(x-49) ,tan∠BID=(12√x)/(x-36) ,tan∠CIE=(6√x)/(x-9) 、

 (14√x)/(x-49)+(12√x)/(x-36)+(6√x)/(x-9)=(14・12・6x√x)/{(x-49)(x-36)(x-9)} 、

 7(x-36)(x-9)+6(x-9)(x-49)+3(x-49)(x-36)=504x 、

 16x2-1422x+10206=0 、8x2-711x+5103=0 、(x-81)(8x-63)=0 、x=81 になり、

 tan∠AIF=14・9/(81-49)=63/16 ,tan∠BID=12・9/(81-36)=12/5 ,tan∠CIE=6・9/(81-9)=3/4 、

 AE=AF=r・tan∠AIF=63r/16 ,BF=BD=r・tan∠BID=12r/5 ,CD=CE=r・tan∠CIE=3r/4 、

 AB/AC=(AF+BF)/(AE+CE)=(63r/16+12r/5)/(63r/16+3r/4)=(63/16+12/5)/(63/16+3/4)

  =(315+192)/(315+60)=507/375=169/125=1.352 になります。

.
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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

上手く解けるものですねぇ ^^
わたしゃ...図と同じような部分での式を作りはしても、
とても手計算では無理そうにて、PCにお願いしました ^^;
cosがr,aだけで表せることに気づくべきでした!!
>∠AIF+∠BID+∠CIE=π だから、
>tan∠AIF+tan∠BID+tan∠CIE=(tan∠AIF)(tan∠BID)(tan∠CIE)
もtan(∠AIF+∠BID+∠CIE)=0
から、展開してわかりましたが、有名なんでしょうねぇ?
三角関数のありがたさがよくわかる問題ですね☆

ニリンソウ  

これも冬の花ですね。
花の形は山ウドにとても似てますよ。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
α+β+γ=π のとき、
-tanα=tan(β+γ)=(tanβ+tanγ)/(1-tanβtanγ) より、
-tanα(1-tanβtanγ)=tanβ+tanγ 、
tanαtanβtanγ=tanα+tanβ+tanγ が成り立ちます。
これは、三角形の問題で比較的有用です。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
冬になるとヤツデの花が目立ってきます。
子供の頃に住んでいた家の庭にヤツデがあったので、
この花を見ると懐かしく感じます。