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[答1354] エピサイクロイドと面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1354] エピサイクロイドと面積


 半径が8の定円と半径が3の動円があって、動円が定円に外接しながら滑ることなく回転するとき、

 動円の円周上の点(動点)が 定円周上から再び定円周上にくるまでの軌跡(エピサイクロイド)と

 定円に囲まれた(図の水色の)部分の面積は?
1354-サイクロイド0


[解答]

 図のように、定円を中心が原点で半径が8,最初の動円を中心が(11,0)で半径が3とし、

 動円の周上の最初の点を(8,0)とします。
1354-サイクロイド

 また、定円と動円が接して動いたときの(図の緑の)弧について、定円の弧の中心角をθとすれば、

 弧の長さは 8θ であり、動円の弧の中心角は 8θ/3 なので、動円の中心から動点への方向は、

 x軸の正の方向から π+θ+8θ/3=π+11θ/3 です。

 よって、動点を(x,y)とすれば、

 (x,y)=11(cosθ,sinθ)+3(cos(π+11θ/3),sin(π+11θ/3)) 、

 x=11cosθ-3cos(11θ/3) ,y=11sinθ-3sin(11θ/3) になります。

 また、計算しなくても分かりますが、

 x2+y2=130-66{cos(11θ/3)cosθ+sin(11θ/3)sinθ}=64+66-66cos(8θ/3) より、

 θ=0 の次に 動点定円周上から再び定円周上にくるのは θ=3π/4 になります。

 次に、dx/dθ=-11sinθ+11sin(11θ/3)=-11{sinθ-sin(11θ/3)} 、 

 dy/dθ=11cosθ-11cos(11θ/3)=11{cosθ-cos(11θ/3)} なので、

 x(dy/dθ)=11{11cos2θ-14cos(11θ/3)cosθ+3cos2(11θ/3)} ,

 -y(dx/dθ)=11{11sin2θ-14sin(11θ/3)cosθ+3sin2(11θ/3)} ,

 (1/2){x(dy/dθ)-y(dx/dθ)}=11{7-7cos(8θ/3)}=77{1-cos(8θ/3)} になり、

 求める面積を S とすれば、ガウスグリーンの定理より、

 S=03π/4 (1/2){x(dy/dθ)-y(dx/dθ)}dθ-(1/2)・82(3π/4)=03π/4 77{1-cos(8θ/3)}dθ-24π

  =77[θ-(3/8)sin(8θ/3)]03π/4-24π=77・3π/4-24π=135π/4 です。


[参考1] ガウスグリーンの定理

 媒介変数θで表された曲線 x=x(θ),y=y(θ) があり、

 α≦θ≦β の範囲で (0,0)と(x(θ),y=y(θ))を結ぶ線分が左回りに動くとき、

 通過する面積Sが、S=αβ (1/2){x(dy/dθ)-y(dx/dθ)}dθ

 で表されるというものです。

 簡単に示せば、媒介変数が θ から θ+Δθ まで変化するとき、

 O(0,0),A(x(θ),y(θ)),B(x(θ+Δθ),y(θ+Δθ)) とすれば、

 ΔS=△OAB=(1/2){x(θ)(y(θ+Δθ)-y(θ)x(θ+Δθ)}

  =(1/2)〔x(θ){(y(θ+Δθ)-y(θ)}-y(θ){x(θ+Δθ)-x(θ)}〕 だから、

 ΔS/Δθ=(1/2)〔x(θ){(y(θ+Δθ)-y(θ)}/Δθ-y(θ){x(θ+Δθ)-x(θ)}/Δθ〕

 Δθ → 0 として、ΔS/Δθ=(1/2)〔x(θ){dy(θ)/dθ}-y(θ){dx(θ)dθ}〕 だから、

 S=αβ (1/2){x(dy/dθ)-y(dx/dθ)}dθ です。


[参考2]

 エピサイクロイドでは b>0 ,ハイポサイクロイドでは b<0 とし、

 定円の半径を a ,動円の半径を|b| (-a<b≦a)とすれば、

 x=(a+b)・cosθ-b・cos((a+b)θ/b) ,y=(a+b)・sinθ-b・sin((a+b)θ/b) になり、

 面積は (3a+2b)b2π/a になります。

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Comments 2

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ニリンソウ  

儚げな桜ですね。
冬に咲く花は春に比べて力強さが無いようです。
青空がバックでこれもいい。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
十月桜が長期間にわたって咲いています。
花弁が小さいので儚げに感じるのでしょう。