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[答1355] 角の二等分線と面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1355] 角の二等分線と面積


 △ABCの面積をS,∠Aの二等分線と辺BCとの交点をPとします。

 AB・AC=208 ,AB・AP+AP・AC=104√11 のとき S=?


[解答1]

 一般化し、AB・AC=T ,AB・AP+AP・AC=2U とし、∠BAP=∠CAP=θ とします。

 S=(1/2)AB・AC・sin2θ=AB・AC・sinθcosθ=Tsinθcosθ ,

 S=(1/2)AB・AP・sinθ+(1/2)AP・AC・sinθ=(1/2)(AB・AP+AP・AC)sinθ=Usinθ だから、

 cosθ=U/T 、sinθ=√(1-U2/T2) となって、S=Usinθ=U√(1-U2/T2) です。

 本問では、T=208 ,U=52√11 ,U/T=(52√11)/208=(√11)/4 ですので、

 S=(52√11)√(1-11/16)=(52√11)(√5)/4=13√55 です。


1355-角の二等分線と面積
[解答2] 三角比を避ければ

 Pから 辺AB,辺ACにおろした垂線を PQ,PR とし、

 AB・AC=T ,AB・AP+AP・AC=2U ,PQ=PR=h ,AQ=AR=k とすれば、

 三平方の定理より、k2+h2=AP2 です。

 BP2=BQ2+PQ2=(AB-k)2+h2=AB2-2kAB+k2+h2=AB2-2kAB+AP2

 CP2=CR2+PR2=(AC-k)2+h2=AC2-2kAC+k2+h2=AC2-2kAC+AP2

 また、BP:CP=AB:AC より、BP・AC=CP・AB 、BP2・AC2=CP2・AB2

 (AB2-2kAB+AP2)AC2=(AC2-2kAC+AP2)AB2 、AP2(AC2-AB2)-2kAB・AC(AC-AB)=0 、

 {AP2(AC+AB)-2kAB・AC}(AC-AB)=0 、(2U・AP-2kT)(AC-AB)=0 、U・AP=kT または AC=AB です。

 U・AP=kT のとき、

  h2=AP2-k2 より h2T2=T2・AP2-k2T2=T2・AP2-U2・AP2=(T2-U2)・AP2 、hT/AP=√(T2-U2) 、

  S=(AB+AC)・h/2=(2U/AP)・h/2=Uh/AP=(U/T)(hT/AP)=(U/T)√(T2-U2)=U√(1-U2/T2) です。

 AC=AB のとき、

  AC2=AB2=T ,AB・AP=AP・AC=U より AB2・AP2=AP2・AC2=U2 、AP2=U2/T 、

  また、BP2=AB2-AP2 、BP2・AP2=AP2(AB2-AP2)=(U2/T)(T-U2/T)=U2(1-U2/T2) 、

  S=BP・AP=U√(1-U2/T2) です。

 従って、いずれの場合も S=U√(1-U2/T2) です。

 本問では、T=208 ,U=52√11 ,U/T=(52√11)/208=(√11)/4 ですので、

 S=(52√11)√(1-11/16)=(52√11)(√5)/4=13√55 です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

三角関数のありがたさがわかりますね♪
ピタゴラスの定理よりも楽ですね...
今後、三角関数よりも楽な法則がいずれ見つかるのか知らん...^^v?

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
三角比の有難さを感じられる問題と思います。
図形的に考える方が楽な問題もありますが、
この問題では、補助線や三平方を省略でき、だいぶショートカットできますね。

ニリンソウ  

今時のさくらにしては華やかですね
若葉も何気に見えるし?
返り咲きの河津桜なのでしょうか!

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
この桜は12月~1月にかけて咲くヒマラヤザクラです。
この時期に咲く桜としては華やかで素敵です。