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[答1356] 4次関数と接線と変曲点

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1356] 4次関数と接線と変曲点


 f(x) はxの4次関数で、図のように、y=f(x) と y=mx+n と点A,Bで接します。

 また、y=f(x) には変曲点P,Qがあり、直線PQと y=f(x) は 点C,P,Q,Dと交わります。

 更に、直線ABと平行なもう1本の接線が y=f(x) と 点E,Fと交わります。

1356-4次関数

 このとき、PQ2:AB2:CD2:EF2=?


[解答]

 E,C,A,P,Q,B,D,F のx座標をそれぞれ e,c,a,p,q,b,d,f とし、a+b=M とします。

 y=f(x) は A,B で y=mx+n に接するので、f(x)=k(x-a)2(x-b)2+mx+n と表されます。

 f(x)=k(x2-Mx+ab)2+mx+n 、f'(x)=2k(x2-Mx+ab)(2x-M)+m 、

 f"(x)=2k{(2x-M)2+2(x2-Mx+ab)}=2k(6x2-6Mx+2ab+M2)=12k(x2-Mx+ab/3+M2/6) 、

 f"(x)=0 の解が p,q なので、解と係数の関係により、p+q=M ,pq=ab/3+M2/6 、

 4pq=2M2/3+4ab/3 、(p+q)2-(p-q)2={(a+b)2-(a-b)2}/3+2M2/3 、

 M2-(p-q)2={M2-(a-b)2}/3+2M2/3 、(p-q)2=(a-b)2/3 です。

 f(x)=k(x2-Mx+ab)2+mx+n=k(x2-Mx+ab/3+M2/6+2ab/3-M2/6)2+mx+n

  =k(x2-Mx+ab/3+M2/6)2+2k(x2-Mx+ab/3+M2/6)(2ab/3-M2/6)+k(2ab/3-M2/6)2+mx+n

  =k(x2-Mx+ab/3+M2/6)(x2-Mx+ab/3+M2/6+4ab/3-M2/3)+mx+n+k(2ab/3-M2/6)2

  =k(x2-Mx+ab/3+M2/6)(x2-Mx+5ab/3-M2/6)+mx+n+k(2ab/3-M2/6)2 になって、

 直線PQは、y=mx+n+k(2ab/3-M2/6)2 であり、

 x2-Mx+5ab/3-M2/6=0 の解が c,d なので、解と係数の関係により、c+d=M ,cd=5ab/3-M2/6 、

 4cd=5・4ab/3-2M2/3 、(c+d)2-(c-d)2=5{(a+b)2-(a-b)2}/3-2M2/3 、

 M2-(c-d)2=5{M2-(a-b)2}/3-2M2/3 、(c-d)2=5(a-b)2/3 です。

 次に、f'(x)=2k(x2-Mx+ab)(2x-M)+m=m のとき、(x-a)(x-b)(2x-M)=0 、

 題意より、直線EFは (M/2,f(M/2))で接するので、y-f(M/2)=m(x-M/2) 、y=mx-mM/2+f(M/2) であり、

 -mM/2+f(M/2)=-mM/2+k(M/2-a)2(M/2-b)2+mM/2+n=n+k(M/2-a)2(M/2-b)2

  =n+k(b/2-a/2)2(a/2-b/2)2=n+k(a/2-b/2)4

 直線EFは、y=mx+n+k(a/2-b/2)4 です。

 k(x2-Mx+ab)2+mx+n=mx+n+k(a/2-b/2)4 のとき、

 (x2-Mx+ab)2-(a/2-b/2)4=0 、(x2-Mx+ab)2-(a2/4-ab/2+b2/4)2=0 、

 (x2-Mx+ab+a2/4-ab/2+b2/4)(x2-Mx+ab-a2/4+ab/2-b2/4)=0 、

 (x2-Mx+M2/4)(x2-Mx-a2/4+3ab/2-b2/4)=0 、(x-M/2)2(x2-Mx-a2/4+3ab/2-b2/4)=0 、

 x2-Mx-a2/4+3ab/2-b2/4=0 の解が e,f なので、

 解と係数の関係により、e+f=M ,ef=-a2/4+3ab/2-b2/4 、

 4ef=-a2+6ab-b2 、4ef+(a+b)2=8ab 、(e+f)2-(e-f)2+(a+b)2=2{(a+b)2-(a-b)2} 、

 M2-(e-f)2+M2=2{M2-(a-b)2} 、(e-f)2=2(a-b)2 です。

 PQ2:AB2:CD2:EF2=(p-q)2:(a-b)2:(c-d)2:(e-f)2=(a-b)2/3:(a-b)2:5(a-b)2/3:2(a-b)2

 PQ2:AB2:CD2:EF2=1:3:5:6 です。

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Comments 4

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

射影的に、一次変換だから、比は変わらない...
4次関数は対称軸を持っている...
変曲点・・・2次導関数...2次関数がx^2-1として,つまり、PQ=2として考えました...
あとは、積分した関数で左右対称から解の値を求めていけましたぁ ^^v

いよいよ明日が、今年最後の問題になるのですね!!
のんびりしていただきたい思いではありますが、楽しみです ^^;v

ほんとはメゾソプラノ  

こんばんは~
とっても不思議な植物ですね
とても大きそうですが、これは、熱帯植物でしょうか?
先がぱかぱか割れて無限に広がっていきそうですね

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
コメントの最初の2行は私には理解できませんが、
明日、今年最後の出題であることは仰る通りです。
明日も、そして来年もよろしくお願いいたします。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ほんとはメゾソプラノさん、コメントを有難うございます。
写真は、東アフリカ原産のミルクブッシュという
トウダイグサ科の低木です。
珍しいものを見てカメラを向けました。