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[答1357] 角の二等分線と三角形の面積

ヤドカリ

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[答1357] 角の二等分線と三角形の面積


 △ABCの ∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとして、AD=48,BD=36,CD=24 のとき、△ABCの面積は?

1357-三角形の面積0


[解答1]

 AB:AC=BD:CD=36:24=3:2 だから、AB=3k,AC=2k とおくことができます。

 AD2=AB・AC-BD・CD だから、482=3k・2k-36・24 、384=k2-144 、k2=528 です。

 余弦定理により、cos∠C=(DC2+AC2-AD2)/(2・DC・AC) だから、

 cos∠C=(576+4k2-2304)/(2・24・2k)=(k2-432)/(24k)=(528-432)/(24k)=4/k 、

 sin2∠C=1-cos2∠C=1-16/k2=(k2-16)/k2=(528-16)/k2=512/k2 、sin∠C=(16√2)/k 、

 △ABC=(1/2)・BC・AC・sin∠C=(1/2)・60・2k・(16√2)/k=960√2=1357.645…… です。 


[解答2]

 AB:AC=BD:CD=36:24=3:2 だから、AB=3k,AC=2k とおくことができます。

 Aから辺BCに垂線AHをおろすと、∠C>90゚ のとき CH<0 と扱えば、三平方の定理により、

 AH2=AB2-BH2=AC2-CH2 、AB2-AC2=BH2-CH2 、9k2-4k2=(BH+CH)(BH-CH) 、

 BH+CH=60 だから、5k2=60(BH-CH) 、BH-CH=k2/12 、BH=30+k2/24 です。

 AD2=AH2+DH2=AH2+(BH-BD)2=AH2+BH2-2BH・BD+BD2=AB2-2BH・BD+BD2 より、

 2BH・BD=AB2+BD2-AD2 、2・36・(30+k2/24)=9k2+1296-2304 、2160+3k2=9k2-1008 、

 k2=528 、AB2=9k2=4752 ,BH=30+k2/24=52 だから、

 AH2=AB2-BH2=4752-2704=2048 、AH=32√2 、

 △ABC=(1/2)・BC・AH=(1/2)・60・32√2=960√2=1357.645…… です。


[解答3]

 AB:AC=BD:CD=36:24=3:2 だから、AB=3k,AC=2k とおくことができます。

 角の二等分線の長さの公式により、AD2=AB・AC-BD・CD 、AB・AC=AD2+BD・CD 、

 3k・2k=482+36・24=3168 、k2=528 です。

 Aから辺BCに垂線AHをおろすと、∠C>90゚ のとき CH<0 と扱えば、三平方の定理により、

 AH2=AB2-BH2=AC2-CH2 、AB2-AC2=BH2-CH2 、9k2-4k2=(BH+CH)(BH-CH) 、

 BH+CH=60 だから、5k2=60(BH-CH) 、BH-CH=k2/12=44 、BH=52 ,CH=8 です。

 AH2=AC2-CH2=4k2-82=4・528-64=2048 、AH=32√2 、

 △ABC=(1/2)・BC・AH=(1/2)・60・32√2=960√2=1357.645…… です。

1357-三角形の面積

[解答4]

 座標平面上で D(0,0),B(-36,0),C(24,0) とします。

 AB:AC=DB:DC=36:24=3:2 で、BCを 3:2 に外分する点をEとすれば、E(144,0) です。

 Dを中心とする半径 48 の円周と、DEを直径とする円(アポロニウスの円)の交点が Aですので、

 x2+y2=482 ,(x-72)2+y2=722 を連立させます。

 (x-72)2+y2=722 は x2+y2=144x ですので、144x=482 、x=16 になり、

 x2+y2=482 に代入し、162+y2=482 、|y|=16√(32-12)=32√2 です。

 △ABC=(1/2)・60・32√2=960√2=1357.645…… です。


[解答5]

 ∠Aの外角の二等分線と辺BCの延長の交点をEとします。

 AB/AC=BD/CD=BE/CE だから、36/24=(60+CE)/CE 、3/2=60/CE+1 、CE=120 になり、

 △ADEで三平方の定理より、AE=√(DE2-AD2)=√(1442-482)=48√(32-12)=96√2 です。

 △ABC=(BC/DE)△ADE=(60/144)(1/2)48・96√2=960√2=1357.645…… です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

色々なアプローチがあるものね☆
角の二等分線の公式と、2倍角の公式から求めましたぁ ^^
三角関数は本当に重宝ですばい♪

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
何通りも解き方を考えられる問題については、
三角関数を使わないなど制限をつけて解いてもいいかも知れません。

ニリンソウ  

縁起がいい千両でしょうか!

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
昨日は赤の千両、今日は黄色の千両をアップしました。
毎年、お金に恵まれるように、縁起物の写真を使っているのですが……。