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[答1358] 負になる直前までの引き算

ヤドカリ

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[答1358] 負になる直前までの引き算


 正の数 x から 集合Sの要素を小さい順に 負になる直前まで引いて得られる数を S(x) とします。

 例えば、Nを自然数全体の集合とすれば、N(12)=12-1-2-3-4=2 です。

 Mを13以上の自然数の集合,Nを自然数全体の集合として、

 M(x)=5 ,N(x)=32 のとき、x=?


[解答1]

 p,q を自然数として、p 以上 q 以下の自然数の和を sum(p,q) と表すことにすれば、

 sum(p,q)=(p+q)(q-p+1)/2 です。

 集合Mの最後に引くを m ,集合Nの最後に引くを n とすれば、5≦m,32≦n で、

 M(x)=x-sum(13,m)=5 ,N(x)=x-sum(1,n)=32 ,32≦n≦m です。

 x=5+(m+13)(m-12)/2=32+(n+1)n/2 だから、

 10+(m+13)(m-12)=64+(n+1)n 、10+(m+1)m-156=64+(n+1)n 、

 (m+1)m-(n+1)n=210 、(m+n+1)(m-n)=210 、m+n+1>m-n で、

 (m+n+1)-(m-n)=2n+1 は奇数だから、m+n+1,m-n の片方が奇数で他方は偶数です。

 また、m+n+1≧65 だから、(m+n+1,m-n)=(210,1),(70,3),(105,2) 、

 (m,n)=(105,104),(36,33),(53,51) 、これは、32≦n≦m を満たします。

 x=32+(n+1)n/2=32+105・104/2,32+34・33/2,32+52・51/2=5492,593,1358 です。


[解答2]

 p,q を自然数として、p 以上 q 以下の自然数の和を sum(p,q) と表すことにします。

 集合Mの最後に引くを m ,集合Nの最後に引くを n とすれば、5≦m,32≦n で、

 M(x)=x-sum(13,m)=5 ,N(x)=x-sum(1,n)=32 ,32≦n≦m です。

 x-sum(1,12)-sum(13,m)=5-sum(1,12) ,x-sum(1,n)-sum(n+1,m)=32-sum(n+1,m) 、

 x-sum(1,m)=5-78 ,x-sum(1,m)=32-sum(n+1,m) だから、

 32-sum(n+1,m)=5-78 、sum(n+1,m)=105 、

 n+1≧33 だから、105 を 33以上の連続自然数の和で表せば、

 105=52+53=34+35+36 、よって、(n+1,m)=(105,105),(52,53),(34,36) 、

 x=32+sum(1,n)=32+105・104/2,32+52・51/2,32+34・33/2=5492,1358,593 です。

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Comments 4

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ニリンソウ  

こんにちは~
千両の次は万両でしょうか
どちらも良く見かけますが百両(カラタチバナ)は
目に入りません。

スモークマン  
グーテンアーベント ^^

またコピるのを忘れてました...^^;
[解答1]のような式計算だったと思いますが...
[解答2]のように考えられる構造の問題であることがにわかに分からず...^^;;
熟読玩味でっす ^^v

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
千両・万両はよく見かけます。
百両・十両・一両もありますが、
なかなか見る機会がありません。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
1つの問題を何通りかの方法で解けると嬉しいです。
そんな問題を作りたいと思っています。