[答1359] 条件を満たす自然数の組

[答1359] 条件を満たす自然数の組


　自然数 m，n が、m＋n が平方数で、mn－m/n＝1200 のとき、(m，n)＝？


[解答]

　mn－m/n＝1200 より、m/n は自然数ですので、m/n＝k とおけば、m＝kn です。

　kn²－k＝1200 、k(n－1)(n＋1)＝1200＝2⁴･3･5² であり、34･36＝1224 だから、n＜35 、

　n－1，n＋1 は 2，3，5 以外の約数を因数としてもたず、2⁵＝32 や 3²＝9 の倍数でないので、

　7，9，11，13，14，16，17，18，19，21，22，23，26，27，28，29，31，32，33 の

　前後の数は n として適しません。

　n＝2，3，4，5，7，9，11 に限定され、m＝kn＝1200n/{(n－1)(n＋1)} だから、

　(n，m)＝(2，800)，(3，450)，(4，320)，(5，250)，(7，175)，(9，135)，(11，110) 、

　このうち、m＋n が平方数になるのは、(m，n)＝(320，4)，(135，9)，(110，11) です。

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