[答1359] 条件を満たす自然数の組

[答1359] 条件を満たす自然数の組
自然数 m,n が、m+n が平方数で、mn-m/n=1200 のとき、(m,n)=?
[解答]
mn-m/n=1200 より、m/n は自然数ですので、m/n=k とおけば、m=kn です。
kn2-k=1200 、k(n-1)(n+1)=1200=24・3・52 であり、34・36=1224 だから、n<35 、
n-1,n+1 は 2,3,5 以外の約数を因数としてもたず、25=32 や 32=9 の倍数でないので、
7,9,11,13,14,16,17,18,19,21,22,23,26,27,28,29,31,32,33 の
前後の数は n として適しません。
n=2,3,4,5,7,9,11 に限定され、m=kn=1200n/{(n-1)(n+1)} だから、
(n,m)=(2,800),(3,450),(4,320),(5,250),(7,175),(9,135),(11,110) 、
このうち、m+n が平方数になるのは、(m,n)=(320,4),(135,9),(110,11) です。
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