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[答1359] 条件を満たす自然数の組

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1359] 条件を満たす自然数の組


 自然数 m,n が、m+n が平方数で、mn-m/n=1200 のとき、(m,n)=?


[解答]

 mn-m/n=1200 より、m/n は自然数ですので、m/n=k とおけば、m=kn です。

 kn2-k=1200 、k(n-1)(n+1)=1200=24・3・52 であり、34・36=1224 だから、n<35 、

 n-1,n+1 は 2,3,5 以外の約数を因数としてもたず、25=32 や 32=9 の倍数でないので、

 7,9,11,13,14,16,17,18,19,21,22,23,26,27,28,29,31,32,33 の

 前後の数は n として適しません。

 n=2,3,4,5,7,9,11 に限定され、m=kn=1200n/{(n-1)(n+1)} だから、

 (n,m)=(2,800),(3,450),(4,320),(5,250),(7,175),(9,135),(11,110) 、

 このうち、m+n が平方数になるのは、(m,n)=(320,4),(135,9),(110,11) です。

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Comments 6

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ニリンソウ  

雪のない冬にいいのかな・・
日本水仙がこちらでも咲き始めているのです
いいのかな・・・・・
春はまだ先のはず

自然に咲く花はいつ見ても嬉しいのですが。

スモークマン  
グーテンターク ^^

k(n^2-1)=1200
非効率だったかもしれませんが...
1200の約数+1=平方数を満たすnから考えました ^^;v

次の数列の問題...とっかかりがわからないまんま ^^;;

ゆうこ  

こんにちは
久しぶりの訪問ですみません。
今年もよろしくお願いいたします。

道東ではこれから厳冬期がやってくるのですが
ヤドカリさん地方では水仙がさわやかに
咲いているのですね。
真冬に花や緑色がみられるってうらやましいです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
こちらでは雪が積もることは滅多にないので、
水仙は例年通りに咲いているといったところです。
例年雪が多いところでは随分違うのでしょうね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
なるべく候補を絞りやすい方法と思って解答を作りました。
数列の問題は難しいかも知れません。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ゆうこさん、コメントを有難うございます。
今年は真冬になりきっていません。
例年よりずいぶん暖かですが、
水仙の開花は例年通りです。