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[答1360] 部分的に等差数列・等比数列

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1360] 部分的に等差数列・等比数列


 すべての項が正の単調増加数列{an}があって、

 an-1,an,an+1 は、nが偶数のとき等差数列で、nが3以上の奇数のとき等比数列です。

 a17=3000,a48=8000 であれば、a1=?


[解答]

 nを自然数として、a2n/a2n-1=rn とおけば、

 n≧2 のとき a2n-1/a2n-2=rn 、a2n+1/a2n=rn+1 です。

 a2n-1=a2n/rn,a2n+1=a2n・rn+1 になり、

 a2n-1,a2n,a2n+1 は等差数列ですので、2a2n=a2n-1+a2n+1

 2a2n=a2n/rn+a2n・rn+1 、2=1/rn+rn+1 、rn+1-1=1-1/rn

 1/(rn+1-1)=1/(1-1/rn)=rn/(rn-1)=1/(rn-1)+1 、

 数列{1/(rn-1)}は公差 1 の等差数列だから、1/(r1-1)=R>0 とおけば、

 1/(rn-1)=R+n-1 、rn-1=1/(R+n-1) 、rn=(R+n)/(R+n-1) 、

 a2/a1=r1,a4/a3=a3/a2=r2,……,a2n/a2n-1=a2n-1/a2n-2=rn だから、

 a2n/a1=(r1・r2・……・rn)2/r1={(R+n)/R}2/{(R+1)/R}=(R+n)2/{R(R+1)} 、

 a2n-1=a2n/rn より、

 a2n-1/a1=a2n/a1/rn=(R+n)2/{R(R+1)}/rn=(R+n)(R+n-1)/{R(R+1)} です。

 a17/a1=(R+9)(R+8)/{R(R+1)} ,a48/a1=(R+24)2/{R(R+1)} より、

 a17/a48=(R+9)(R+8)/(R+24)2 、3000/8000=(R+9)(R+8)/(R+24)2

 8(R+8)(R+9)=3(R+24)2 、5R2-8R-1152=0 、(R-16)(5R+72)=0 、R=16 です。

 a17/a1=(R+9)(R+8)/{R(R+1)} より、

 3000/a1=25・24/(16・17) 、5/a1=1/(16・17) 、a1=1360 です。

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Comments 4

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ニリンソウ  
くねくねの木

葉が無いから余計に目立つこの枝ぶり?
くねくねの木ってのがあるそうですが。

これは葡萄?なんでしょうね
面白い木狙いましたね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: くねくねの木

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
写真の樹はシダレエンジュです。
枝垂れの名前の通りの姿です。
緑の中の花は目立ちませんが、白いです。

スモークマン  
グーテンアーベント ^^

このところ、どうも思い込みが激しくて...
ずっと...a2-a4-a6のようなものが等差数列で
a1-a3-a5のようなものが等比数列だと思ってました...^^;;
何れにしても...よくわかりませんでしたかも..,^^;...

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
このごろ少し難しい問題が続いていますが、
数学に興味をもって解いてほしいです。