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[答1361] 四角形の面積の5等分

ヤドカリ

ヤドカリ

P1110128.jpg



[答1361] 四角形の面積の5等分


 四角形ABCDの 辺BC上に Bに近い方から 点P,点Q をとり、辺AD上に 点R をとって、

 線分AP,線分PR,線分RQ,線分QD で分けると、面積が5等分されました。

1361-面積5等分0

 BP=9 ,QC=4 のとき PQ=?


[解答1]

 DAの延長と CBの延長の交点を O ,OB=b ,BP=x ,PQ=y ,QC=z ,△AOB=k△ABP とします。
1361-面積5等分

 b:x=k:1 ,(b+x):y=(k+2):1 ,(b+x+y):z=(k+4):1 より、

 b/x=k ,(b+x)/y=k+2 ,(b+x+y)/z=k+4 になり、

 (b+x)/y=b/x+2 より、b/y+x/y=b/x+2 、x/y-2=b/x-b/y であり、

 (b+x+y)/z=b/x+4 より、b/z+x/z+y/z=b/x+4 、b/z-b/x=4-x/z-y/z なので、

 辺々乗じて、(x/y-2)(b/z-b/x)=(b/x-b/y)(4-x/z-y/z) 、

 (x/y-2)(1/z-1/x)=(1/x-1/y)(4-x/z-y/z) 、(x-2y)(x-z)=(y-x)(4z-x-y) 、

 x2-xz-2xy+2zy=4zy-xy-y2-4xz+x2+xy 、y2-2(x+z)y=-3xz 、

 y2-2(x+z)y+(x+z)2=(x+z)2-3xz 、(y-x-z)2=x2-xz+z2

 y<x または y<z だから、y-x-z=-√(x2-xz+z2) 、y=x+z-√(x2-xz+z2) です。

 本問では、BP=x=9 ,QC=z=4 だから、PQ=y=9+4-√(92-9・4+42)=13-√61 です。


[解答2]

 [1318]の結果 を使えば、 BP:PQ=DR:(2DR-RA) ,AR:RD=CQ:(2CQ-QP) ですので、

 BP:PQ=(2CQ-QP):{2(2CQ-QP)-CQ}=(2QC-PQ):(3QC-2PQ) 、

 9:PQ=(8-PQ):(12-2PQ) 、9(12-2PQ)=PQ(8-PQ) 、PQ2-26PQ+108=0 、PQ=13±√61 、

 4<PQ<9 だから、PQ=13-√61 です。

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Comments 4

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ニリンソウ  

こんにちは~
清々しい真っ白なスイセンですね。
紙のように白い「ペーパーホワイト」でしょうか。
鉢植えでなく地で咲いてる様に見えます。

tsuyoshik1942  
答1361の雑感(tk)

「1318の解2」の手法(PQ=xで表す)に習いました

PDを結び{△PDQ+△PDR=□PQDR=2}に注目する

△PDQと△CDQは三角形の高さが等しく底辺比は{x:4}
従って、△PDQ=x/4

△PDRと△PARは三角形の高さが等しく底辺比は{RD:AR}
従って、△PDR=RD/AR
ここまでで、式①{x/4+RD/AR=2}が得られる

同様に、AQを結び{△ARP+△ARB}に注目すると
式②{x/9+AR/RD=2}が得られ

①と②より2-x/4=1/(2-x/9)→x^2-26x+108=0

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
真っ白な水仙も何種類かあるようですが、
総称としてペーパーホワイトと言われるようです。
区別は難しいです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: 答1361の雑感(tk)

tsuyoshik1942さん、コメントを有難うございます。
[1318]と同じような時期に作り、
ほとぼりが冷める時期に出題できるよう数値を設定しました。
私は(解2)を定理のように使って解答を作りました。