[答1362] 漸化式で表された数列

[答1362] 漸化式で表された数列


　a₁＝0，a₂＝9，a₁₁＝855，a_n+3＝3a_n+2－3a_n+1＋a_n (n＝1，2，3，……) で表される、

　数列｛a_n｝において、a₄₁＝？


[解答1]

　a_n+3＝3a_n+2－3a_n+1＋a_n より、a_n+3－2a_n+2＋a_n+1＝a_n+2－2a_n+1＋a_n だから、

　数列｛a_n+2－2a_n+1＋a_n｝は定数で、a_n+2－2a_n+1＋a_n＝a₃－2a₂＋a₁＝a₃－18 、

　ここで、a₃－18＝d とおけば、a_n+2－a_n+1＝a_n+1－a_n＋d 、

　数列｛a_n+1－a_n｝は 公差がｄの等差数列で、初項は a₂－a₁＝9 、

　a_n+1－a_n＝9＋(n－1)d になり、

　n＝1，2，……，10 を代入して加えれば、a₁₁－a₁＝90＋45d 、855＝90＋45d 、d＝17 、

　n＝1，2，……，40 を代入して加えれば、a₄₁－a₁＝360＋780d＝13620 、a₄₁＝13620 です。


[解答2]

　a_n+3＝3a_n+2－3a_n+1＋a_n より、a_n+3－a_n+2＝2(a_n+2－a_n+1)－(a_n+1－a_n) だから、

　数列｛a_n｝の階差数列を｛b_n｝とすれば、b_n+2＝2b_n+1－b_n 、

　b_n+2＝2b_n+1－b_n より、b_n+2－b_n+1＝b_n+1－b_n 、

　数列｛b_n｝の階差数列を｛c_n｝とすれば、c_n+1＝c_n 、

　数列｛a_n｝の第２階差数列が定数だから、a_n は ｎの２次式で表されます。

　a₁＝0 だから、a_n＝(n－1)(pn＋q) と表され、

　a₂＝2p＋q＝9 ，a₁₁＝10(11p＋q)＝855 を連立させて、p＝17/2 ，q＝－8 、

　よって、a_n＝(n－1)(17n/2－8) になり、a₄₁＝(41－1)(17･41/2－8)＝12620 です。

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