[答1362] 漸化式で表された数列

[答1362] 漸化式で表された数列
a1=0,a2=9,a11=855,an+3=3an+2-3an+1+an (n=1,2,3,……) で表される、
数列{an}において、a41=?
[解答1]
an+3=3an+2-3an+1+an より、an+3-2an+2+an+1=an+2-2an+1+an だから、
数列{an+2-2an+1+an}は定数で、an+2-2an+1+an=a3-2a2+a1=a3-18 、
ここで、a3-18=d とおけば、an+2-an+1=an+1-an+d 、
数列{an+1-an}は 公差がdの等差数列で、初項は a2-a1=9 、
an+1-an=9+(n-1)d になり、
n=1,2,……,10 を代入して加えれば、a11-a1=90+45d 、855=90+45d 、d=17 、
n=1,2,……,40 を代入して加えれば、a41-a1=360+780d=13620 、a41=13620 です。
[解答2]
an+3=3an+2-3an+1+an より、an+3-an+2=2(an+2-an+1)-(an+1-an) だから、
数列{an}の階差数列を{bn}とすれば、bn+2=2bn+1-bn 、
bn+2=2bn+1-bn より、bn+2-bn+1=bn+1-bn 、
数列{bn}の階差数列を{cn}とすれば、cn+1=cn 、
数列{an}の第2階差数列が定数だから、an は nの2次式で表されます。
a1=0 だから、an=(n-1)(pn+q) と表され、
a2=2p+q=9 ,a11=10(11p+q)=855 を連立させて、p=17/2 ,q=-8 、
よって、an=(n-1)(17n/2-8) になり、a41=(41-1)(17・41/2-8)=12620 です。
.
スポンサーサイト