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[答1362] 漸化式で表された数列

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1362] 漸化式で表された数列


 a1=0,a2=9,a11=855,an+3=3an+2-3an+1+an (n=1,2,3,……) で表される、

 数列{an}において、a41=?


[解答1]

 an+3=3an+2-3an+1+an より、an+3-2an+2+an+1=an+2-2an+1+an だから、

 数列{an+2-2an+1+an}は定数で、an+2-2an+1+an=a3-2a2+a1=a3-18 、

 ここで、a3-18=d とおけば、an+2-an+1=an+1-an+d 、

 数列{an+1-an}は 公差がdの等差数列で、初項は a2-a1=9 、

 an+1-an=9+(n-1)d になり、

 n=1,2,……,10 を代入して加えれば、a11-a1=90+45d 、855=90+45d 、d=17 、

 n=1,2,……,40 を代入して加えれば、a41-a1=360+780d=13620 、a41=13620 です。


[解答2]

 an+3=3an+2-3an+1+an より、an+3-an+2=2(an+2-an+1)-(an+1-an) だから、

 数列{an}の階差数列を{bn}とすれば、bn+2=2bn+1-bn

 bn+2=2bn+1-bn より、bn+2-bn+1=bn+1-bn

 数列{bn}の階差数列を{cn}とすれば、cn+1=cn

 数列{an}の第2階差数列が定数だから、an は nの2次式で表されます。

 a1=0 だから、an=(n-1)(pn+q) と表され、

 a2=2p+q=9 ,a11=10(11p+q)=855 を連立させて、p=17/2 ,q=-8 、

 よって、an=(n-1)(17n/2-8) になり、a41=(41-1)(17・41/2-8)=12620 です。

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Comments 6

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

読むとなるほどと了解できましたが...
最近、全くのスランプというか...頭が回りませんばい...^^;...
チャレンジだけは続けたいと思ってます Orz〜

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
この問題はパターンを知っていれば解けます。
次も難しいかも知れませんが、解いてみて下さい。

ほんとはメゾソプラノ  

おはようございます
一見、花に見えましたが、実でしょうか?
とても興味そそられる木ですね!

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ほんとはメゾソプラノさん、早速のコメントを有難うございます。
マユミの樹の実です。
秋から見られるのですが、立派に残っていました。

ニリンソウ  

まだ下がってますね。
鳥もこの実好きだと思うけど?

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
マユミの実がたくさん残っていました。
こんなについていると撮りたくなります。