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[答1363] 内接円の半径

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1363] 内接円の半径


 △ABCにおいて、BC=a ,CA=b ,AB=c ,外接円の半径を R ,内接円の半径を r とします。

 R=31 ,a2=c(b+c) ,b2=c(-a+b+2c) のとき、r≒?

 cos20゚≒0.93969262 とし、有効数字5桁で求めて下さい。


[解答]

 b2=c(-a+b+2c)=c(-a+c)+c(b+c)=-ca+c2+a2

 cosB=(c2+a2-b2)/(2ca)=ca/(2ca)=1/2 、B=60゚ です。

 a2=c(b+c) より、(2RsinA)2=2RsinC(2RsinB+2RsinC) 、sin2A=sinC(sinB+sinC) 、

 sin2A-sin2C=sinBsinC 、(sinA+sinC)(sinA-sinC)=sinBsinC 、

 2sin(A/2+C/2)cos(A/2-C/2)・2cos(A/2+C/2)sin(A/2-C/2)=sinBsinC 、

 2sin(A/2+C/2)cos(A/2+C/2)・2sin(A/2-C/2)cos(A/2-C/2)=sinBsinC 、

 sin(A+C)・sin(A-C)=sinBsinC 、sin(180゚-B)・sin(A-C)=sinBsinC 、

 sin(π-B)=sinB≠0 なので、sin(A-C)-sinC=0 、2cos(A/2)sin(A/2-C)=0 、

 cos(A/2)≠0 なので、sin(A/2-C)=0 、A/2-C=0 、A=2C です。

 A+2C=180゚-B=120゚ と併せて A=80゚ ,C=40゚ です。

 △ABC=(1/2)ab・sinC=(1/2)(2RsinA)(2RsinB)sinC=2R2sinAsinBsinC

  =16R2sin(A/2)cos(A/2)sin(B/2)cos(B/2)sin(C/2)cos(C/2) 、

 (a+b+c)/2=(2RsinA+2RsinB+2RsinC)/2=R(sinA+sinB+sinC)

  =R{2sin(A/2)cos(A/2)+2sin(B/2+C/2)cos(B/2-C/2)}

  =2R{cos(B/2+C/2)cos(A/2)+cos(A/2)cos(B/2-C/2)}

  =2Rcos(A/2){cos(B/2+C/2)+cos(B/2-C/2)}=4Rcos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)

 r=△ABC/{(a+b+c)/2}=4Rsin(A/2)sin(B/2)sin(C/2) になります。

 本問では、R=31 ,A=80゚ ,B=60゚ ,C=40゚ ですので、

 r=4・31sin40゚sin30゚sin20゚=2・31sin40゚sin20゚=-31(cos60゚-cos20゚)≒31(0.93969262-0.5)

  =31・0.43969262=13.63047122≒13.630 です。


[参考]

 a2=c(b+c) について、
1363-参考図

 AD=AC と満たす点Dを BAを延長上にとり、△ACDの外接円を描けば、

 BC2=BA・BD だから、方べきの定理の逆より、BCはこの円の接線ですので、

 接弦定理より ∠BCA=∠ADC 、AD=AC より ∠ADC=∠ACD 、

 ∠BAC=∠ADC+∠ACD=2∠ADC=2∠BCA からも A=2C がいえます。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

角Bが60°から、うんともすんとも進まず諦めました...^^;
参考図になるほどです ^^☆

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
60°であるときの辺の関係と、2倍の角であるときの辺の関係から、作問しました。

ニリンソウ  

今日もやっぱり暗い空
こんな真っ青な空が見れるのは何時だろう。

薄い花びらの蠟梅がふわりと咲いてますね
いい匂いです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
蝋梅の透き通るような花弁と香りはいいですね。
青空をバックに黄色の花を撮りました。