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[答1364] 66番目の円

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1364] 66番目の円


 図のように、半径4の円Aに内接し、互いに外接する半径3の円Bと半径1の円C0 があります。

 nを自然数として、円Aに内接し、円Bにも円Cn-1 にも外接する、Cn-1より小さい円Cn

 次々と描くとき、円C66 の半径は?
1364-66番目の円


★ 反転( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3576.html )を参考にしてください。


[解答1]

 原点以外の点(x,y)と点(48x/(x2+y2),48y/(x2+y2))を対応させる変換(反転)を考えます。

1364-66番目の円0

 円 (x-a)2+(y-b)2=r2 を変換すれば、{48x/(x2+y2)-a}2+{48y/(x2+y2)-b}2=r2

 {48x-a(x2+y2)}2+{48y-b(x2+y2)}2={r(x2+y2)}2

 482(x2+y2)-96ax(x2+y2)-96by(x2+y2)+(a2+b2-r2)(x2+y2)2=0 、

 482-96ax-96by+(a2+b2-r2)(x2+y2)=0 です。

 円Aを (x-4)2+y=42 とすれば、反転は、482-4・96x=0 、x=6 になり、

 円Bを (x-3)2+y=32 とすれば、反転は、482-3・96x=0 、x=8 になりますので、

 円Cn の反転は、(x-7)2+(y-2n)2=12 になり、

 円Cn は その反転で、482-96・7x-96・2ny+(72+4n2-12)(x2+y2)=0 、

 242-168x-48ny+(n2+12)(x2+y2)=0 、

 x2+y2-168x/(n2+12)-48ny/(n2+12)+242/(n2+12)=0 、

 {x-84/(n2+12)}2+{y-24n/(n2+12)}2={84/(n2+12)}2+{24n/(n2+12)}2-242/(n2+12) 、

 {x-84/(n2+12)}2+{y-24n/(n2+12)}2={12/(n2+12)}2{72+4n2-4(n2+12)} 、

 {x-84/(n2+12)}2+{y-24n/(n2+12)}2={12/(n2+12)}2 になって、

 半径は、12/(n2+12) です。

 従って、円C66 の半径は、12/(662+12)=1/364 です。


★ Aの半径を a ,Bの半径を b ,C0 の半径を c とすれば、a=b+c になり、

 Cn の半径は、abc/(ab+c2n2) です。

 本問では a=4,b=3,c=1 なので、Cn の半径は、12/(12+n2) です。


[解答2] peachbozuさんの解答を参考に

 円C66の中心を(p,q),半径を r とします。

 座標平面上で、中心が原点で半径が √(p2+q2-r2) の円に関しての反転で、

 中心が(a,b)で半径が c の円を変換すると、 

 円が原点を通るとき、原点と中心を通る直線に垂直な直線になり、

 円が原点を通らないとき、中心の座標も半径も (p2+q2-r2)/(a2+b2-c2) 倍の円になります。

 円Aの中心を(4,0),円Bの中心を(3,0) とすれば、

 A,Bは x軸に垂直な直線に変換され、C66 は C66 に変換されます。

 Ck は A,Bの両方と接しますので、

 A,Bの変換後の平行な2直線にCkの変換後の円は接し、直径は平行線の幅と等しく、

 その中心のx座標はすべて一致します。(x座標はpです)

 また、Ck は Ck-1 と外接しますので、その変換後の円どうしも外接します。

 つまり、C0,C1,C2,……,C66 の変換後の円は

 A,Bの変換後の図形である2直線に接し、x軸に垂直に外接して並びます。

 C0 の中心は x軸上に変換されますので、|q|=2・66r です。

 円Aの中心(4,0),円Bの中心(3,0) と 円C66の中心(p,q) の距離の平方を考え、

 (p-4)2+q2=(4-r)2 ,(p-3)2+q2=(3+r)2 になり、

 これを解いて、p=7r , |q|=4√(3r-3r2) になります。

 2・66r=4√(3r-3r2) 、33r=√(3r-3r2) 、1089r2=3r-3r2 、r>0 だから、r=1/364 です。


★ Cnの中心を(p,q),半径を r とすれば、|q|=2nr です。

 これが、パップスの数学集成 (Pappus's Collection) に書かれていて、peachbozuさんによれば、

 岩波科学ライブラリー「アルベロス3つの半円が作る幾何宇宙」4ページに紹介されているそうです。

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Comments 4

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ゆうこ  
こんばんは

お久しぶりです。
yahooブログが終了し
ブログ熱も下がってしまって・・・(汗)

ヤドカリさん地方はもう花が咲いているのですね。
関東以西は暖冬だそうですね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: こんばんは

ゆうこさん、コメントを有難うございます。
ゆうこさんのようなブロガーのブログ熱が下がるのは惜しいことです。
ところで、こちらは暖かい年でも結氷はあるのですが、
今年はそれすらない暖冬です。
それでも黄色の花には暖かさを感じます。

ニリンソウ  

こんにちは~
今日は雪こそ降らないけど強風注意報。

こんな優しげな白い花が咲いてたら
萎みそうですよ。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ドンベアという花で、花の文化園の温室で見ました。
白い花ですが、花の色は変色しやすいです。