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[答1365] 階乗の末尾の0の個数

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1365] 階乗の末尾の0の個数


 8進法,9進法,10進法,11進法,12進法で、

 10000! を計算したときの末尾に連続して並ぶ0の個数は?

 「10000!」もその計算結果も 8進法,9進法,10進法,11進法,12進法とします。

 末尾の0の個数は10進法で答えてください。


[解答]

 N! を素因数分解したときの素因数pの指数は、[N/p]+[N/p2]+[N/p3]+[N/p4]+…… 個であり、

 n進法で、10000!=n4! が nで最大何回割れるかを求めることになります。

 8進法: 8=23 ,84=212 だから、

  84!=212! を素因数分解したときの素因数2の指数は、

  211+210+29+……+2+1=212-1=4095 、

  [4095/3]=1365 個です。

 9進法: 9=32 ,94=38 だから、

  94!=38! を素因数分解したときの素因数3の指数は、

  37+36+35+34+33+32+3+1=(38-1)/2=3280 、

  [3280/2]=1640 個です。

 10進法: 10=2・5 ,104=24・54 だから、

  104!=(24・54)! を素因数分解したときの素因数5の指数は、

  24・53+24・52+24・5+24+3=24・(125+25+5+1)+3=2499 、

  素因数2の指数は、これより多いので、2499 個です。

 11進法: 11は素数だから、114! を素因数分解したときの素因数11の指数は、

  113+112+11+1=1331+121+11+1=1464 個です。

 12進法: 12=22・3 ,124=28・34 だから、

  124!=(28・34)! を素因数分解したときの素因数2の指数は、

  27・34+26・34+……+34+40+20+10+5+2+1=(28-1)・34+78=20733 、

  124! を素因数分解したときの素因数3の指数は、

  28・33+28・32+28・3+28+85+28+9+3+1=28・(27+9+3+1)+126=10366 、

  min{ [20733/2],10366}=10366 個です。

 まとめて、8進法 1365個,9進法 1640個,10進法 2499個,11進法 1464個,12進法 10366個です。


[参考] たけちゃんさんのコメントより

 12で割り切れる回数は,

 2で割り切れる回数 [N/2]+[N/4]+[N/8]+…… と

 3で割り切れる回数 [N/3]+[N/9]+[N/27]+…… が

 について,小数点以下を切り捨てない無限級数の和

 N/2+N/4+N/8+……=N ,N/3+N/9+N/27+……=N/2

 となることから 必ず競り合うのですね.

 次の命題が真であることに気付きました.

 「nは自然数全体を動くとき,n!の末尾の0の個数について,

  (3進表記の個数)-(4進表記の個数) は上にも下にも有界でない」

.
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Comments 4

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アキチャン  

こんにちわ。
可愛いピンク♪(赤色?)
チューリップ もう見れるのですね(o^-^o)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

アキチャンさん、コメントを有難うございます。
花の文化園の温室で見ました。
冬は春の花が見られると嬉しくなります。

ニリンソウ  

早いですね!
特別好きな花でもないのだけど
子供も大人も年寄りも誰からも愛されてる
チューリップ。
新潟駅から信濃川河畔沿って公園でも
チューリップでいっぱいになります

これも新潟の花と思ってます。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
これは温室のチューリップでしたが、
屋外でも見られるようになってきました。