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[答1366] 隣への移動で元の位置

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1366] 隣への移動で元の位置


 図のように、円周上に A,B,C,D,E,F があります。

1366-隣への移動

 Aを出発点として 隣への移動を 4回繰り返した結果 Aにいる場合は、次の6通りです。

 A→B→C→B→A,A→B→A→B→A,A→B→A→F→A,A→F→A→B→A,A→F→A→F→A,A→F→E→F→A

 では、

 (1) Aを出発点として 隣への移動を 12回繰り返した結果 Aにいる場合は 何通り?

 (2) nを偶数として、Aを出発点として 隣への移動を n回繰り返した結果 Aにいる場合は 何通り?

   (2)は式を求める問題ですので、最も簡単な形で示して下さい。


[解答1]

 (1) 12回の移動の場合

  12回の移動のうち、右回りが 0,3,6,9,12 回で、何回目に右回りに移動するかで、

  1201231261291212=1+220+924+220+1=1366 です。


 (2) n回の移動の場合

  n/2 を 3で割った余りを r (r=0,1,2) とし、求める場合の数を N とします。

  n回の移動のうち、右回りが r,r+3,r+6,……,n-r 回で、何回目に右回りに移動するかで、

  N=nrnr+3nr+6+……+nn-r であり、

  二項定理により、(1+x)n を展開したときの、xr,xr+3,xr+6,……,xn-r の係数の和になり、

  すなわち、(1+x)n/xr を展開したときの、x0,x3,x6,……,xn-2r の係数の和になります。

  ここで、ωを1の虚数立方根とすれば、1+ω+ω2=0 であり、

  1+ωk+ω2k は、kが3の倍数であれば 3 ,kが3の倍数でなければ 0 なので、

  N={(1+1)n/1r+(1+ω)nr+(1+ω2)n2r}/3={2n+(-ω2)nr+(-ω)n2r}/3

  ここで、nは偶数なので、N=(2n+ω2n-r+ωn-2r)/3=(2n+ω2n-4r+ωn-2r)/3

  ここで、(n-2r)=2(n/2-r) は3の倍数なので、N=(2n+2)/3 です。


[解答2]

 kを負でない整数として、k回の移動 2k 通りのうち、

 AまたはDにいる場合を ak 通りとすれば、

 (k+1)回の移動でAまたはDにいるのは、k回の移動で A,D 以外の場所にあり、

 そのいずれからも1通りの方法があるので、ak+1=2k-ak 、ak+1+ak=2k

 (-1)k+1ak+1-(-1)kak=-(-2)k になって、

 k=0,1,2,……,n-1 を代入し、加えれば、

 (-1)nan-(-1)0a0=-(-2)0-(-2)0-(-2)0-……-(-2)0

 (-1)nan-1=-{1-(-2)n}/{1-(-2)} 、

 an-(-1)n=-(-1)n{1-(-2)n}/3=-{(-1)n-2n}/3 、

 an=(-1)n-{(-1)n-2n}/3={2n+2(-1)n}/3 です。

 nが偶数であれば、Aにいて、(-1)n=1 だから、

 an=(2n+2)/3 、a12=(212+2)/3=1366 です。


[解答3] たけちゃんさんのコメントより

 負でない偶数nに対し,n回の移動の結果Aに戻る場合の数をf(n)とする.

 Aに戻らない場合を含めて,n回の移動として可能なのは 2n 通り.

 このうち,Aに戻らない場合は必ずCまたはEに到達する.

 Aにいる状態から2回移動を追加してAに戻るのは,A→B→A と A→F→A の2通り,

 CまたはEにいる状態から2回移動を追加してAに戻るのは C→B→A か E→F→A の1通り.

 よって,f(n+2)=2f(n)+(2n-f(n))=f(n)+2n であり,

 正の偶数nに対して,

 f(n)=f(0)+20+22+24+……+2n-2=1+(4n/2-1)/(4-1)=(2n+2)/3. ……(2)の答え

 (1)は,f(12)=(212+2)/3=4098/3=1366(通り).


[解答4] たけちゃんさんのコメントより

 nを負でない整数として,n回の移動の結果

 AまたはDに到達する場合の数を an

 BまたはEに到達する場合の数を bn

 CまたはFに到達する場合の数を cn とする.

 an+1=bn+cn ……[1]

 bn+1=an+cn ……[2]

 cn+1=an+bn ……[3]

 である.

 [1]+[2]+[3]: an+1+bn+1+cn+1=2(an+bn+cn).

 これより,an+bn+cn=(a0+b0+c0)・2n=2n

 [1]×2-[2]-[3]: 2an+1-bn+1-cn+1=-(2an-bn-cn).

 これより,2an-bn-cn=(2a0-bn-cn)・(-1)n=2・(-1)n

 よって,an={2n+2・(-1)n}/3 である.

 偶数回の移動により,到達点はA,C,Eのいずれか,(-1)n=1 だから,

 (1)は a12=(212+2)/3=1366 ,(2)は an=(2n+2)/3.

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Comments 2

There are no comments yet.
ニリンソウ  

セツブンソウですね。
ブログをやるまではこんな素敵な花がある事も知りませんでした。
見れて良かったですね、今年はまだ見ていません。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
まだ少ししか咲いていなかったのですが、節分に間に合いました。
今年も見ることができて嬉しいです。