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[答1369] 漸化式で表される数列の初項

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1369] 漸化式で表される数列の初項


 漸化式 bn=(an+37n)/38 ,an+1=an-bn (n=1,2,3,……) で表される数列{an},{bn}において、

 b13=b69 のとき、a1=?


[解答1]

 an+1=an-bn=an-(an+37n)/38=(37/38)an-(37/38)n 、

 an+1+37(n+1)-1406=(37/38)an-(37/38)n+37(n+1)-1406

  =(37/38){an-n+38(n+1)-1444}=(37/38){an+37n-1406} だから、

 数列{an+37n-1406}は 公比が 37/38 の等比数列になり、

 an+37n-1406=(a1+37・1-1406)(37/38)n-1=(a1-1369)(37/38)n-1

 an=(a1-1369)(37/38)n-1-37n+1406 ,

 bn=(an+37n)/38=(a1-1369)(37/38)n-1/38+37 、

 b13=b69 だから、(a1-1369)(37/38)12/38+37=(a1-1369)(37/38)68/38+37 、

 (a1-1369){(37/38)12-(37/38)68}=0 、a1=1369 です。


[解答2]

 bn+1={an+1+37(n+1)}/38=(an-bn+37n+37)/38=(an+37n)/38-bn/38+37/38

  =bn+(-bn+37)/38=(37/38)bn+37/38 、

 bn+1-37=(37/38)(bn-37) 、数列{bn-37}は 公比が 37/38 の等比数列になり、

 bn-37=(b1-37)(37/38)n-1 、bn=(b1-37)(37/38)n-1+37 、

 b13=b69 だから、(b1-37)(37/38)12+37=(b1-37)(37/38)68+37 、

 (b1-37){(37/38)12-(37/38)68}=0 、b1=37 になり、

 b1=(a1+37・1)/38 だから、37=(a1+37・1)/38 、a1=1369 です。


★ an=-37n+1406 , bn=37 です。

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Comments 2

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ニリンソウ  

春浅いころにこの黄色いリボンを見るだけで
喜びがわきます。
春がそこまできている。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
春の到来を告げる黄色のリボンですね。
所々で見られるようになりました。