FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1370] 2個の直角三角形

ヤドカリ

ヤドカリ

P2110453.jpg



[答1370] 2個の直角三角形


 図のように、斜辺 AB,CD の長さが等しい直角三角形 △PAB,△QCD を斜辺を重ねて並べます。

   1370-2個の直角三角形

 上の図のような、重ならないような並べ方2通りでは PQの長さの比は 137:110 、

 下の図のような、重なるような並べ方2通りでは PQの長さの比は 137:175 です。

 PA<QC<QD<PB として、面積の和 △PAB+△QCD=352 のとき、(PA,PB)=? また、(QC,QD)=?


[解答]

 何れの図においても、斜辺を直径とする円に内接するので、トレミーの定理より、

 (PB・QD+PA・QC):(PB・QC+PA・QD)=137:110 、(PB・QC-PA・QD):(PB・QD-PA・QC)=137:175 になり、

 PB・QD+PA・QC=137a ,PB・QC+PA・QD=110a ,PB・QC-PA・QD=137b ,PB・QD-PA・QC=175b とします。

 2PB・QD=137a+175b ,2PA・QC=137a-175b ,2PB・QC=110a+137b ,2PA・QD=110a-137b だから、

 4PA・PB・QC・QD=(137a+175b)(137a-175b)=(110a+137b)(110a-137b) となって、

 1372a2-1752b2=1102a2-1372b2 、1372a2-1102a2=1752b2-1372b2 、247・27a2=312・38b2

 9a2=16b2 、3a=4b 、a/4=b/3=2k とおけば、a=8k ,b=6k と表せます。

 2PB・QD=137a+175b=2146k ,2PA・QC=137a-175b=46k ,2PA・QD=110a-137b=58k となって、

 PB・QD=1073k ,PA・QC=23k ,PA・QD=29k ですので、PB/PA=1073/29=37 ,QD/QC=29/23 、

 (PA,PB)=(m,37m) ,(QC,QD)=(23n,29n) とおくことができて、

 PA2+PB2=1370m2 ,△PAB=37m2/2 ,QC2+QD2=1370n2 ,△QCD=667n2

 三平方の定理により、PA2+PB2=PC2+PD2 、1370m2=1370n2 、m=n で、

 △PAB+△QCD=37m2/2+667n2/2=37n2/2+667n2/2=352n2=352 だから、m=n=1 、

 よって、(PA,PB)=(1,37) ,(QC,QD)=(23,29) で、斜辺は √1370 です。

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
ニリンソウ  

ラナンキュラスも薔薇のように
華やかですよね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
何年か前、ラナンキュラスを初めて見た時は、
花弁の多さに驚きました。