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[答1371] 弦の両端の点の座標

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1371] 弦の両端の点の座標


 xy平面上で、2直線 5x+7y-30=0,3x-y-5=0 の交点を通る直線が 円 x2+y2-9x-7y+20=0

 と 2点で交わり、その2点間の距離が 2√10 であるとき、その2点の座標は?


[解答]

 (m,n)≠(0,0) として、交点を通る直線を m(5x+7y-30)+n(3x-y-5)=0 とします。

 円は (x-9/2)2+(y-7/2)2=25/2 ですので、中心(9/2,7/2) と直線の距離をdとすれば、

 d2+(√10)2=25/2 、d2=5/2 、

 ヘッセの公式により、d=|17m+5n|/{√(5m+3n)2+(7m-n)2}=|17m+5n|/√(74m2+16mn+10n2) 、

 よって、(289m2+170mn+25n2)/(74m2+16mn+10n2)=5/2 、

 2(289m2+170mn+25n2)=5(74m2+16mn+10n2) 、208m2+260mn=0 、52m(4m+5n)=0 、

 m=0 ,5n=-4m です。

 m=0 のとき、交点を通る直線は 0(5x+7y-30)+n(3x-y-5)=0 、3x-y-5=0 、y=3x-5 で、

  x2+y2-9x-7y+20=0 に代入して、x2+(3x-5)2-9x-7(3x-5)+20=0 、10x2-60x+80=0 、

  x=2,4 、(x,y)=(2,1),(4,7) です。

 5n=-4m のとき、交点を通る直線は 5m(5x+7y-30)+5n(3x-y-5)=0 、

  5m(5x+7y-30)-4m(3x-y-5)=0 、13x+39y-130=0 、x=10-3y で、

  x2+y2-9x-7y+20=0 に代入して、(10-3y)2+y2-9(10-3y)-7y+20=0 、10y2-40y+30=0 、

  y=3,1 、(x,y)=(1,3),(7,1) です。

 まとめると、(2,1)と(4,7) ,(1,3)と(7,1) です。

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Comments 4

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンアーベント ^^

これは悩みながら...
弦の長さ2√10に接する円(1):(x-9/2)^2+(y-7/2)^2=5/2
この円の接線で(5/2,5/2)を通る直線は...
(5/2-9/2)(x-9/2)+(5/2-7/2)(y-7/2)=5/2
これと円(1)との接点は...
(3,4)と(4,2)
so...
これらと2直線の交点(5/2,5/2)を通る直線と円(0):(x-9/2)^2+(y-7/2)^2=25/2 との交点を求めましたが...

冗長な気もしました...^^;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
確かにその解き方もありますが、
遠回りしていることになります。

ニリンソウ  

クサボケかな、白も見えるので園芸種かな
葉のない木が華やかになりますね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
このボケは年末から少しずつ咲いています。
近頃はかなり綺麗になってきました。