[答1372] 正六角形の分割

[答1372] 正六角形の分割
図のように、正六角形を3個の十一角形と3個の九角形に分割し、並べかえると、
正六角形の中央に小さな正六角形の穴ができます。

もとの正六角形の面積を1とするとき、十一角形1個の面積は?
[解答1]
図のように、正六角形のマス目に描き、マス目1個の面積を S とすれば、
十一角形と九角形1個ずつの面積の和は 16S 、
もとの正六角形の面積は 16S・3=1 ですので、S=1/48 、
また、図の青色の、頂角が120゚の二等辺三角形1個の面積は S/6 だから、
十一角形1個の面積は 16S/2+4・S/6=26S/3=26・(1/48)/3=13/72 です。
なお、九角形1個の面積は 16S/2-4・S/6=22S/3=22・(1/48)/3=11/72 です。

[解答2]
図の赤い線のように、もとの正六角形の頂点と中心を結びます。
十一角形の短い9本の辺の1本の長さを a とすれば、もとの正六角形の1辺は (4√3)a です。
1辺が (4√3)a の正三角形の面積が 1/6 だから、(√3){(4√3)a}2/4=(12√3)a2=1/6 、
a2√3=1/72 です。
十一角形1個の面積は、
1/6+(4√3)a・a/2-4(a2sin120゚/2)=1/6+2a2√3-a2√3=1/6+a2√3=1/6+1/72=13/72 です。
なお、九角形1個の面積は、
1/6+4(a2sin120゚/2)-(4√3)a・a/2=1/6+a2√3-2a2√3=1/6-a2√3=1/6-1/72=11/72 です。
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