[答1372] 正六角形の分割

[答1372] 正六角形の分割


　図のように、正六角形を３個の十一角形と３個の九角形に分割し、並べかえると、

　正六角形の中央に小さな正六角形の穴ができます。

　もとの正六角形の面積を１とするとき、十一角形１個の面積は？


[解答1]

　図のように、正六角形のマス目に描き、マス目１個の面積を S とすれば、

　十一角形と九角形１個ずつの面積の和は 16S 、

　もとの正六角形の面積は 16S･3＝1 ですので、S＝1/48 、

　また、図の青色の、頂角が120ﾟの二等辺三角形１個の面積は S/6 だから、

　十一角形１個の面積は 16S/2＋4･S/6＝26S/3＝26･(1/48)/3＝13/72 です。

　なお、九角形１個の面積は 16S/2－4･S/6＝22S/3＝22･(1/48)/3＝11/72 です。


[解答2]

　図の赤い線のように、もとの正六角形の頂点と中心を結びます。

　十一角形の短い９本の辺の１本の長さを a とすれば、もとの正六角形の１辺は (4√3)a です。

　１辺が (4√3)a の正三角形の面積が 1/6 だから、(√3){(4√3)a}²/4＝(12√3)a²＝1/6 、

　a²√3＝1/72 です。

　十一角形１個の面積は、

　1/6＋(4√3)a･a/2－4(a²sin120ﾟ/2)＝1/6＋2a²√3－a²√3＝1/6＋a²√3＝1/6＋1/72＝13/72 です。

　なお、九角形１個の面積は、

　1/6＋4(a²sin120ﾟ/2)－(4√3)a･a/2＝1/6＋a²√3－2a²√3＝1/6－a²√3＝1/6－1/72＝11/72 です。

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