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[答1373] 負になる直前までの引き算

ヤドカリ

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[答1373] 負になる直前までの引き算


 正の数 x から 集合Sの要素を小さい順に 負になる直前まで引いて得られる数を S(x) とします。

 例えば、Nを自然数全体の集合とすれば、N(12)=12-1-2-3-4=2 です。

 奇数 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,…… の、

 奇数番目を A={1,5,9,13,17,……},偶数番目を B={3,7,11,15,19,……}とするとき、

 A(x)=47 ,B(x)=98 のとき、x=? また、A(x)+B(x)=145 を満たす最小の自然数xは?


[解答1]

 一般化し、A(x)=a ,B(x)=b とします。

 A(x)=x-1-5-9-13-17-…… で、引く数を m 個とすれば、最後に引く数は 4m-3 、

 A(x)=x-(1+4m-3)m/2=a 、x-(2m-1)m=a 、x=(2m-1)m+a であり、a<4m+1 です。

 B(x)=x-3-7-11-15-19-…… で、引く数を n 個とすれば、最後に引く数は 4n-1 、

 B(x)=x-(3+4n-1)n/2=b 、x-(2n+1)n=b 、x=(2n+1)n+b であり、b<4n+3 です。

 従って、(2m-1)m+a=(2n+1)n+b 、(2m-1)m-(2n+1)n=b-a 、(m+n)(2m-2n-1)=b-a 、

 また、x-1>x-3>x-1-5>x-3-7>x-1-5-9>x-3-7-11>…… だから、

 m=n または m=n+1 であり、(m+n)(2m-2n-1)=b-a だから、

 m=n のとき -2n=b-a,-2n-1=b-a-1 で、m=n+1 のとき 2n+1=b-a,2n=b-a-1 、

 いずれの場合も、x=(2n+1)n+b=(b-a)(b-a-1)/2+b={(a-b)2+a+b}/2 です。

 A(x)=a=47 ,B(x)=b=98 のとき、x=(512+47+98)/2=1373 です。

 次に、a+b=145 のとき、a≦4m ,b≦4n+2 、a/2≦2m ,b/2≦2n+1 であるので、

 m=n のとき -2n=b-a より 2n=a-b 、

  a/2≦2n ,b/2≦2n+1 だから、a/2≦a-b ,b/2≦a-b+1 、2b≦a 、3b≦a+b=145 、b≦48 、

 m=n+1 のとき 2n+1=b-a 、

  a/2≦2n+2 ,b/2≦2n+1 だから、a/2≦b-a+1 ,b/2≦b-a 、2a≦b 、3a≦a+b=145 、a≦48 、

 x={(a-b)2+a+b}/2 が最小になるのは、(a,b)=(97,48),(48,97) の何れかのときで、

 x=(492+97+48)/2=1273 です。実際、(A(1273),B(1273))=(48,97) になります。


[解答2]

 A(x),B(x) の大きい方を M,小さい方を m とします。

 A(x)=x-1-5-9-13-17-……=x-1-(2+3)-(4+5)-(6+7)-(8+9)-……

 B(x)=x-3-7-11-15-19-……=x-(1+2)-(3+4)-(5+6)-(7+8)-(9+10)-……

 ですので、xから自然数を小さい順に負になる直前まで引くときの最後の自然数をnとすれば、

 x-1-2-3-4-5-6-……-n=m ,m≦n ,M=m+n です。

 x=m+1+2+3+4+5+6+……+n=m+n(n+1)/2=m+(M-m)(M-m+1)/2

  ={(M-m)2+M+m}/2 です。

 A(x)=47 ,B(x)=98 のとき、x=(512+47+98)/2=1373 です。

 次に、A(x)+B(x)=145 のとき、m+n=M ,m≦n だから、3m≦m+n+m=M+m=145 、m≦48 、

 x={(M-m)2+M+m}/2 が最小になるのは、(M,m)=(97,48) のときで、

 x=(492+97+48)/2=1273 です。実際、(A(1273),B(1273))=(48,97) になります。

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Comments 2

There are no comments yet.
ニリンソウ  

丁度いい具合に紅白梅が揃った梅の里ですね。
弥生3月花の頃
「コロナ」騒動で動きも制限されそうです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
錦織公園内の河内の原風景を再現した場所です。
昭和の人間にとっては懐かしさを感じます。