FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1374] 一直線上にある3点

ヤドカリ

ヤドカリ

P2240699.jpg



[答1374] 一直線上にある3点


 a は実数,b=59+95i であり、

 z3+a3+b3=3abz を満たす3個のzが複素平面上で一直線上にあるとき a=?


[解答1]

 1の虚数立方根をωとすれば、

 z3+a3+b3-3abz=(z+a+b)(z+aω+bω2)(z+aω2+bω)=0 だから、

 z=-a-b,-aω-bω2,-aω2-bω です。

 (-aω-bω2)-(-a-b)=a(1-ω)+b(1-ω2)=(1-ω)(a+b+bω)

 (-aω2-bω)-(-a-b)=a(1-ω2)+b(1-ω)=(1-ω)(a+aω+b) で、

 3個のzが一直線上にあるのは、a+b+bω,a+aω+b の一方が他方の実数倍になるときです。

 実数 c,d を用いて b=c+dω と表せば、

 a+b+bω=a+c+dω+cω+dω2=a+c+dω+cω+d(-1-ω)=(a-d+c)+cω 、

 a+aω+b=a+aω+c+dω=(a+c)+(a+d)ω

 よって、(a-d+c):c=(a+c):(a+d) 、(a-d+c)(a+d)=c(a+c) 、a2-d2+ca+cd=ca+c2

 a2=c2-cd+d2=(c+dω)(c+dω2) 、ここで c+dω2 は b=c+dω 共役複素数だから、

 a2=|b|2 、a=±|b|=±√12506=±13√74 です。


[解答2]

 z3+a3+b3-3abz=(z+a+b)(z2+a2+b2-az-bz-ab)=0 だから、

 z=-a-b または z2+a2+b2-az-bz-ab=0 です。

 z2+a2+b2-az-bz-ab=0 について、4z2+4a2+4b2-4az-4bz-4ab=0 、

 4a2-4a(b+z)=-4b2+4bz-4z2 、4a2-4a(b+z)+(b+z)2=-4b2+4bz-4z2+(b+z)2

 (2a-b-z)2=-3(b-z)2 、2a-b-z=±(b-z)i√3 、2a-2z=(b-z)±(b-z)i√3 、

 2(a-z)=(b-z)(1±i√3) 、2|a-z|=|b-z||1±i√3| 、|a-z|=|b-z| になり、

 従って、z2+a2+b2-az-bz-ab=0 を満たす2つのzを結ぶ直線は |a-z|=|b-z| で、

 これは、a,b を端点とする線分の垂直二等分線です。

 z=-a-b もこの直線上にあるので、|2a+b|=|a+2b| 、|2a+b|2=|a+2b|2

 a,b の共役複素数を a',b' とすれば、(2a+b)(2a'+b')=(a+2b)(a'+2b') 、

 4aa'+2ab'+2a'b+bb'=aa'+2ab'+2a'b+4bb' 、aa'=bb' 、|a|2=|b|2 、|a|=|b| 、

 aは実数だから、a=±|b|=±√12506=±13√74 です。


[参考]

 z2+a2+b2-az-bz-ab=0 について、

 2(z-a)=(b-a)(1±i√3) と変形すれば、z-a=(b-a)(cos60゚±i・sin60゚) 、

 z は a を中心に b を ±60゚ 回転して得られる点で、

 a,b,z は異なれば 複素平面上で 正三角形の頂点になります。

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
ニリンソウ  

これも好きな花です。
日が当たって開花すると小さいながら
牡丹のように華やかです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
花かんざし、小さいけど存在感のある花です。
白と黄色の色合いもいいですね。