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[答1375] 正三角形と長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

P2240653.jpg



[答1375] 正三角形と長さ


 正三角形ABCの 辺ABの延長上に点Dを 辺ACの延長上に点Eを、BD:CE=23:1 となるようにとり、

 BEとCDの交点をP,BCとAPの交点をQ とすれば、BQ:QC=5:3 になりました。

1375-無題0

 正三角形ABCの1辺の長さを 1 とすると、BD=? また、AP=?

 なお、図は正確ではありません。


[解答1]

 太字はベクトルとします。

 BD=x ,ABbACc とすれば、AD=(1+x)bAE=(1+x/23)c です。

 AQ=(3/8)b+(5/8)c だから、AP=8kAQ とすれば、AP=3kb+5kc

 BP:PE=s:(1-s) とすれば、AP=(1-s)AB+sAE=(1-s)b+s(1+x/23)c

 CP:PD=t:(1-t) とすれば、AP=tAD+(1-t)AC=t(1+x)b+(1-t)c

 bc は一次独立だから、3k=1-s=t(1+x) ,5k=s(1+x/23)=1-t です。

 5k=1-t より t=1-5k 、3k=t(1+x) に代入して、3k=(1-5k)(1+x) 、

 3k-(1-5k)=(1-5k)x 、8k-1=(1-5k)x 、

 3k=1-s より s=1-3k 、5k=s(1+x/23) に代入して、5k=(1-3k)(1+x/23) 、

 5k-(1-3k)=(1-3k)x/23 、8k-1=(1-3k)x/23 、

 よって、(1-5k)x=(1-3k)x/23 、23(1-5k)=1-3k 、23-115k=1-3k 、k=11/56 になり、

 8k-1=(1-5k)x に代入して、8・11/56-1=(1-5・11/56)x 、88-56=(56-55)x 、BD=x=32 です。

 次に、|b|=|c|=1 ,bc=1・1・cos60゚=1/2 で、

 |AP|2=|3kb+5kc|2=9k2|b|2+30k2bc+25k2|c|2=9k2+15k2+25k2=49k2

 AP=7k=7・11/56=11/8=1.375 です。


[解答2]

 斜交座標で、A(0,0),B(1,0),C(0,1),D(23k+1,0),E(0,k+1) とすれば、

 CD:x/(23k+1)+y=1 ,BE:x+y/(k+1)=1 になり、連立させて、

 x+{1-x/(23k+1)}/(k+1)=1 、(23k+1)(k+1)x+(23k+1)-x=(23k+1)(k+1) 、

 k(23k+24)x=(23k+1)k 、x=(23k+1)/(23k+24) 、y=1-x/(23k+1)=(23k+23)/(23k+24) 、

 P((23k+1)/(23k+24),(23k+23)/(23k+24)) です。

 よって、AP:x=(23k+1)y/(23k+23) で、BC:x+y=1 と連立させて、

 (23k+1)y/(23k+23)+y=1 、(23k+1)y+(23k+23)y=23k+23 、

 y=(23k+23)/(46k+24) としてQのy座標を得ます。

 BQ:BC=5:8 だから、(23k+23)/(46k+24)=5/8 なので、k=32/23 、BD=23k=32 です。

 AP/AQ={(23k+23)/(23k+24)}/{(23k+23)/(46k+24)}=(46k+24)/(23k+24)

  =(64+24)/(32+24)=11/7 であり、

 余弦定理より、AQ2=12+(5/8)2-2・1・(5/8)cos120゚=49/64 、AQ=7/8 ですので、

 AP=11AQ/7=11(7/8)/7=11/8=1.375 です。


[解答3]

 △ABCと点Pで チェバの定理により、(BQ/QC)(CE/EA)(AD/DB)=1 、(BQ/QC)(CE/DB)(AD/EA)=1 、

 (5/3)(1/23)(AD/EA)=1 、AD/EA=69/5 、5AD=69EA 、5(BD+1)=69(CE+1) 、

 5(BD+1)=69(BD/23+1) 、5BD+5=3BD+69 、BD=32 です。

 △QABと直線CDで メネラウスの定理により、(QP/PA)(AD/DB)(BC/CQ)=1 、(QP/PA)(33/32)(8/3)=1 、

 QP/PA=4/11 、(AP-AQ)/AP=4/11 、1-AQ/AP=4/11 、AQ/AP=7/11 、AP=(11/7)AQ です。

1375-無題

 右図のように、Aを中心として △ACQを右回りに 60゚回転したものを △ABRとします。

 BQ=5/8,BR=CQ=3/8,∠QBR=120゚ だから、△BQR=(5/8)(3/8)△ABC=(15/64)△ABC 、

 △ARQ=△ABC-△BQR=(49/64)△ABC で、△ARQも正三角形だから、AQ=7/8 、

 従って、AP=(11/7)AQ=(11/7)(7/8)=11/8=1.375 です。

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Comments 4

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ゆうこ  
こんばんは

星の瞳ですね~~~
花は可愛いし色がとっても神秘的です。

マスクが店頭にありません。
マスクをしてくださいと言われてもない人はどうするればいいの?
手作りしかないですね。
作れませんが・・・^^
もうちょっと在庫があるから今は大丈夫です。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: こんばんは

ゆうこさん、コメントを有難うございます。
春先にはいろんな色の花が咲きます。白・赤・黄・紫はけっこうありますが、
青は数えるほどしか知りません。

北海道は感染者が多くて大変ですね。
マスクは政府が買い上げて北海道の方には配られるそうですが、
早い対応が必要ですね。
こちらでも増えてきていますので、
私はエスカレーターの手すりを触らない、
吊り革を触らないために座れる時間帯の電車に乗る、
待合室は使わないなど気を付けています。

マスクの手作りはネットで検索すればいろいろあるそうです。
必要になったら私も調べたいと思います。

ニリンソウ  

オオイヌノフグリが可愛いです
この花も青空が無いと萎んでいます。
青い空が好きな花なんですね。

キレイに撮れました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
オオイヌノフグリ以外に春先に青い花は見ません。
見慣れているけど、珍しい花ですね。