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[答1377] 正方形内の三角形

ヤドカリ

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[答1377] 正方形内の三角形


 1辺が180の正方形ABCDの 辺BC上に点P,辺CD上に点Q があって、∠PAQ=45゚ です。
1377-正方形内三角形0
 (1) BP=45 のとき、△APQの面積は?

 (2) △APQの面積が最小になるときの BPの長さは?


[解答]

 BP=x ,△APQ=S とします。
   1377-正方形内三角形
 右図のように、△ABP≡△PMN になるように M,Nをとれば、△APNが直角二等辺三角形になるので、

 NはAPの延長上にあり、AQ/AN=BC/BM=180/(x+180) です。

 S=(AQ/AN)△APN=(AQ/AN)(台形ABMN-2△ABP)={180/(x+180)}{(x+180)2/2-180x}

  =90{(x+180)-360x/(x+180)}=90{(x+180)-360(-180+x+180)/(x+180)}

  =90{(x+180)+64800/(x+180)-360} です。

 (1) x=45 のとき、S=90{(45+180)+64800/(45+180)-360}=90(225+288-360)=13770 です。

 (2) 相加・相乗平均の関係により、(x+180)=64800/(x+180) のときで、

   (x+180)2=64800 、x+180=180√2 、BP=x=180(√2-1) のときです。

   なお、このとき S=90(180√2+180√2-360)=32400(√2-1) です。

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Comments 4

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ニリンソウ  

本物見たことないんです!
渋い八重の花が自生なんですね
ブログでどなたかが必ずのように
乗せてくれるから

こんなイチゲもあるんだと知りました。

スモークマン  
グーテンアーベント ^^

わたしは...次のように考えましたぁ ^^
(1)
tan角BAP=45/180=1/4
tan角DAQ=DQ/180
tan45°=1=(1/4+BP/180)/(1-(1/4)(BP/180))
so...4*180-BP=180+4BP
so...BP=108
so...△APQ=180^2-(180*(45+108)+(180-45)(180-108))/2=13770

(2)
Sの高さは180で一定なので、PQが最短になるときで、Aを中心にした円の接線になるときで唯一...
このとき、PQは角C=直角の二等辺三角形の斜辺
つまり、CQ=CP=m/√2, PQ=m
so...m/2+m/√2=180
so...m(√2+2)=360√2
m=PQ=180√2(2-√2)=360(√2-1)
so...BP=m/2=180(√2-1)

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
雪の降らない当方ですが、ユキワリイチゲは咲いてくれています。
ただ、自生は見る機会もなく、花の文化園で見ました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
三角比を使えば簡単になると思いますが、初等幾何で解答を作りました。
(2)も tan22.5゚ が分かれば簡単ですね。