FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1378] 最大公約数と数列

ヤドカリ

ヤドカリ

P3020705.jpg



[答1378] 最大公約数と数列


 a,b の最大公約数を G(a,b) と表すことにします。

 100項からなる有限数列 a1,a2,a3,……,a100 があり、

 すべての項が自然数、a1=8001 で、2以上の自然数 n について、

 N<an-1 ,G(N,128-n)=G(an-1,128-n) を満たす最大の自然数 N を an とするとき、

 a6=? また、a75=?


[解答]

 a1=8001=127・63 、

 N<a1 ,G(N,126)=G(a1,126)=63 を満たす最大の自然数Nは N=125・63 、a2=125・63 、

 N<a2 ,G(N,125)=G(a2,125)=125 を満たす最大の自然数Nは N=125・62 、a3=125・62 、

 N<a3 ,G(N,124)=G(a3,124)=62 を満たす最大の自然数Nは N=123・62 、a4=123・62 、

 N<a4 ,G(N,123)=G(a4,123)=123 を満たす最大の自然数Nは N=123・61 、a5=123・61 、

 N<a5 ,G(N,122)=G(a5,122)=61 を満たす最大の自然数Nは N=121・61 、a6=121・61 、

 よって、a6=7381 であり、an=(127-n)(128-n)/2 と推測されます。

 an=(127-n)(128-n)/2 が n=k-1 のときに成り立てば、ak-1=(128-k)(129-k)/2 、

 G(N,128-k)=G(ak-1,128-k)=G((128-k)(129-k)/2,128-k) だから、

 128-k が奇数であれば、G(N,128-k)=128-k 、N は 128-k の倍数、

  (129-k)/2-1=(127-k)/2 ,G((127-k)(128-k)/2,128-k)=128-k だから、

  N<ak-1 ,G(N,128-k)=G(ak-1,128-k) を満たす最大の自然数Nは N=(127-k)(128-k)/2 になり、

 123-k が偶数であれば、G(N,128-k)=(128-k)/2 、N は (128-k)/2 の倍数で、

  (129-k)-1=128-k ,G((128-k)2/2,128-k)=128-k 、

  (129-k)-2=127-k ,G((127-k)(128-k)/2,128-k)=(128-k)/2 だから、

  N<ak-1 ,G(N,128-k)=G(ak-1,128-k) を満たす最大の自然数Nは N=(127-k)(128-k)/2 になり、

 いずれの場合も、ak-1=(128-k)(129-k)/2 ならば ak=(127-k)(128-k)/2 が成り立ちます。

 数学的帰納法により、すべての自然数nについて an=(127-n)(128-n)/2 です。

 よって、a75=52・53/2=1378 です。

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
ニリンソウ  

桜ですか? サクランボかな
桜もいろいろあるけど一般に(ソメイヨシノ)
そちらの開花予報はもうすぐでしょうか

昨日今日と寒くてあられも落ちて来て
春も行ったり来たり、ウロウロしているようです。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
この桜はJRの百舌鳥駅に咲いていた大寒桜です。
染井吉野の開花はもうすぐのようです。