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[答1379] 3次方程式の解の2乗

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1379] 3次方程式の解の2乗


 3次方程式 x3-x2-x+3=0 の 解を x=a,b,c とするとき、

 x3 の係数が1で、x=a2,b2,c2 を解とする3次方程式は?


[解答1]

 解と係数の関係により、a+b+c=1 ,bc+ca+ab=-1 ,abc=-3 ですので、

 a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(bc+ca+ab)=12-2(-1)=3 、

 b2c2+c2a2+a2b2=(bc+ca+ab)2-2abc(a+b+c)=(-1)2-2(-3)・1=7 、

 a2b2c2=(abc)2=(-3)2=9 になり、

 (x-a2)(x-b2)(x-c2)=0 は x3-3x2+7x-9=0 になります。


[解答2]

 a3-a2-a+3=0 より、a3-a=a2-3 、両辺を2乗して、a6-2a4+a2=a4-6a2+9 、

 a6-3a4+7a2-9=0 、同様に、b6-3b4+7b2-9=0 ,c6-3c4+7c2-9=0 、

 よって、x=a2,b2,c2 を解とする3次方程式は x3-3x2+7x-9=0 です。

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Comments 4

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スモークマン  
グーテンターク ^^

今日は墓参日和です♪
後知恵ですが...
x^3-x^2-x+3=0 の3根がa,b,c なら、
-a,-b,-cを持つ式は
-x^3-x^2+x+3=0
つまり、
x^3+x^2-x-3=0
so...
(x^3-x^2-x+3)(x^3+x^2-x-3)
=(x^3-x)^2-(x^2-3)^2
=x^6-3x^4+7x^2-9
=(x-a)(x-b)(x-c)(x+a)(x+b)(x+c)
=(x^2-a^2)(x^2-b^2)(x^2-c^2)

また、
a^4,b^4,c^4を持つものは...
(x^6-3x^4+7x^2-9)(x^6+3x^4+7x^2+9)
=(x^6+7x^2)^2-(3x^4+9)^2
=x^12+5x^8-5x^4-81=0

a^8,b^8,c^8を持つものは...
(x^12+5x^8-5x^4-81)(x^12-5x^8-5x^4+81)
=x^24-35x^16+835x^8-6561
...
と求められるわけですのね♪

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
私の[解答2]と等価な解き方になりますが、
たけちゃんさんも貴殿のように解いておられました。

ニリンソウ  

そちらは晴れ続きで
やっぱりモクレンも早いですね。
彼岸になってようやく気温も安定してくるのかな
まだ毎日孫たちが家にいます。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
当方ではモクレンは今見頃です。
白い花が空に映えて見事な姿を見せてくれます。