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[答1380] 定積分の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1380] 定積分の値

 0π/2 sin45θcos5θdθ=?


[解答1]

 0π/2 sin45θcos5θdθ=0π/2 sin45θ(1-sin2θ)2cosθdθ

  =0π/2 (sin45θcosθ-2sin47θcosθ+sin49θcosθ)dθ

  =[(1/46)sin46θ-(2/48)sin48θ+(1/50)sin50θ]0π/2

  =1/46-2/48+1/50=1/46-1/48-1/48+1/50=2/(46・48)-2/(48・50)

  =4・2/(46・48・50)=1/(23・24・25)=1/13800 です。


[解答2]

 I(m,n)=0π/2 sinmθcosnθdθ とおけば、

 n≧2 のとき、

 I(m,n)=0π/2 (sinmθcosθ)cosn-1θdθ

  ={1/(m+1)}[sinm+1θcosn-1θ]0π/2+{(n-1)/(m+1)}0π/2 sinm+1θcosn-2θsinθdθ

  ={(n-1)/(m+1)}0π/2 sinm+2θcosn-2θ だから、

 I(m,n)={(n-1)/(m+1)}・I(m+2,n-2) であり、

 I(m,1)=0π/2 sinmθcosθdθ={1/(m+1)}[sinm+1θ]0π/2=1/(m+1) 、

 与式=I(45,5)=(4/46)・I(47,3)=(4/46)・(2/48)・I(49,1)=(4/46)(2/48)(1/50)=1/13800 です。

 なお、n=0 のときは I(m,0)={(m-2)/(m-1)}・I(m-2,0) として求めます。

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Comments 6

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スモークマン  
グーテンターク ^^

どうも...積分アレルギー...^^;
解答読んだら了解できました ^^;v
ある意味パズルチックですよね?

ゆうこ  

桜の開花宣言があったのではないですか?
桜が咲いたり色々な花が咲くと
気持ちもワクワクしてくると思います。

ニリンソウ  

大阪では桜が咲いたようですね。
少しづつ咲いて満開まで、チラチラ散るまで
長持ちして欲しいですね。

今日の写真は桜じゃない!
桜かな?

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
そんなに難しくはない問題だと思います。
漸化式で一般化できることを示したかった問題です。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ゆうこさん、コメントを有難うございます。
こちらでは染井吉野の開花宣言がありましたが、
他の種類の桜は既に咲いています。
うれしい季節が始まっています。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
こちらでは染井吉野の開花宣言がありました。
この花はアンズの花で、
枝にビッシリとピンクの花が付いた姿がいいです。