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[答1383] 円に内接する多くの円

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1383] 円に内接する多くの円


 図のように、互いに2個ずつ外接する 半径が 8,5,5 の円が、半径 r の円に内接し、

 次々と 半径 8 の円と直前の円に外接し、半径 r の円に内接する円を描きます。
1383-多数の円
 半径が 5 の円を 1番目とすると、88番目の円の半径は?


[解答1]

 デカルトの円定理より、

 (1/8+1/5+1/5-1/r)2=2(1/82+1/52+1/52+1/r2) 、

 (21/40-1/r)2=153/800+2/r2 、(21r-40)2=306r2+3200 、135r2-1680r-1600=0 、

 27r2-336r-320=0 、(3r-40)(9r+8)=0 、r=40/3 です。

 互いに2個ずつ外接する 半径が 8,1/a,1/b の円が、半径 40/3 の円に内接するものとすれば、

 デカルトの円定理より、(1/8+a+b-3/40)2=2(1/82+a2+b2+32/402) 、

 (1/20+a+b)2=2(17/800+a2+b2) 、a2+2ab+b2+a/10+b/10+1/400=2a2+2b2+17/400 、

 b2-2ab+a2-b/10-a/10+1/25=0 、b2-(2a+1/10)b+a2-a/10+1/25=0 、

 b の2次方程式とみれば、解の和は 2a+1/10 です。

 よって、1/a0=5 ,1/a1=5 ,n番目の半径を 1/an とすれば、

 an-1+an+1=2an+1/10 、an+1-an=an-an-1+1/10 、

 数列{an+1-an}は公差 1/10 の等差数列で、an+1-an=a1-a0+n/10=n/10 、

 数列{an}の階差数列が{n/10}だから、n≧2 のとき、

 an=a1+1/10+2/10+……+(n-1)/10=1/5+n(n-1)/20=(n2-n+4)/20 、

 これは、n=1 のときにも成り立ち、

 n番目の半径は、1/an=20/(n2-n+4) になります。

 88番目の半径は、20/(882-88+4)=5/(442-22+1)=5/1915=1/383 です。


[解答2]

 反転を参考にして下さい。

 座標平面上で、半径r,8の円の中心をそれぞれ A(0,r),B(0,8)とすれば、接点は O(0,0)です。

 第1象限の半径5の円の中心を C(5,c)とすれば、BC2=52+(c-8)2=132 だから、c=20 、C(5,20) 、

 AC2=52+(r-20)2=(r-5)2 だから、r=40/3 、A(0,40/3) です。

 ここで、中心が O で半径が 4√5 の円に関して「反転」を考えると、

 (点Pに対して、OP・OQ=80 を満たす半直線OP上の点Qに変換すること)

 半径 40/3,8 の円を反転すると それぞれ 直線 y=3 ,y=5 になり、

 n番目の円を反転したものはすべてこの2直線に接するので、半径は 1 です。

 また、1番目の円2個を反転したものはy軸対称で接しますので、中心は(±1,4) 、

 第1象限のn番目の円を反転したものの中心は(2n-1,4)で半径は 1 です。

 これを反転すると半径は 80/{(2n-1)2+42-12}=20/(n2-n+4) になります。

 88番目の半径は、20/(882-88+4)=5/(442-22+1)=5/1915=1/383 です。

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Comments 2

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ニリンソウ  

白い馬酔木も鈴なりですね
新潟もやっと桜咲きました。 さっさと行かずに長持ちして欲しい。
今そこの公園でみてきました

今年は人出の多い名所は行かずに
近くで静かに見る事にします。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
このごろ不要不急の外出をしていないので、
少し前の写真ですが、アップしました。
今、こちらでは桜が満開、長持ちしてほしいです。