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[答1384] サインカーブと面積

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1384] サインカーブと面積


 kを正の定数として、y=cosx (0≦x≦π/2) ,y=ksinx (0≦x≦π/2) ,y=0 (0≦x≦π/2) で
      1384-サインカーブ
 囲まれる部分の面積が 1/7 のとき、k=?


[解答1]

 y=cosx (0≦x≦π/2) を Gc ,y=ksinx (0≦x≦π/2) を Gs とします。

 0π/2 cosxdx=[sinx]0π/2=1 だから、

 Gc,Gs,x=0 で囲まれる部分の面積を S とすれば、S=1-1/7=6/7 です。

 Gc,Gs の交点のx座標をαとすれば、cosα=ksinα 、k=cosα/sinα 、

 S=0α (cosx-ksinx)dx=[sinx+kcosx]0α=sinα+kcosα-k

  =sinα+cos2α/sinα-cosα/sinα=sinα+(1-sin2α)/sinα-cosα/sinα=(1-cosα)/sinα 、

 (1-cosα)/sinα=6/7 、7(1-cosα)=6sinα 、49(1-cosα)2=36(1+cosα)(1-cosα) 、

 49(1-cosα)=36(1+cosα) 、cosα=13/85 、sinα=84/85 になり、k=cosα/sinα=13/84 です。


[解答2]

 y=cosx (0≦x≦π/2) を Gc ,y=ksinx (0≦x≦π/2) を Gs とします。

 0π/2 cosxdx=[sinx]0π/2=1 だから、

 Gc,Gs,x=0 で囲まれる部分の面積を S とすれば、S=1-1/7=6/7 です。

 Gc,Gs の交点のx座標をαとすれば、cosα=ksinα 、2乗して、1-sin2α=k2sin2α 、

 (k2+1)sin2α=1 、sinα=1/√(k2+1) 、cosα=ksinα=k/√(k2+1) ですので、

 S=0α (cosx-ksinx)dx=[sinx+kcosx]0α=sinα+kcosα-k

  =1/√(k2+1)+k2/√(k2+1)-k=√(k2+1)-k ですので、

 √(k2+1)-k=6/7 、√(k2+1)=k+6/7 、k2+1=k2+12k/7+36/49 、12k/7=13/49 、

 k=13/84 です。

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Comments 2

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ニリンソウ  

咲きましたか!
この花が可愛いですよね。
予想以上に実が大きくて使われずに
コロガってるのを良く見かけます。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
仰る通り、花が可愛い割に実が大きいです。
秋は落ち葉も多く、実も落ちて厄介です。