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[答1386] 内接円内の三角形

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1386] 内接円内の三角形


 △ABCの 辺 BC,CA,AB と内接円との接点をそれぞれ D,E,F とします。

 EF=10 ,FD=22 ,DE=24 のとき、BC+CA+AB=? また、△ABC:△DEF=?
1386-内接円内三角形0
 なお、図は正確ではありません。


[解答1]

 △DEFの 内角を単に D,E,F と表すことにし、円の中心を O ,半径を R とします。

 接弦定理より ∠AEF=∠AFE=∠FDE だから、AE・cosD=AF・cosD=EF/2 、

 AE=AF=EF/(2cosD) 、AE+AF=EF/cosD 、同様に、BF+BD=FD/cosE ,CD+CE=DE/cosF になるので、

 BC+CA+AB=EF/cosD+FD/cosE+DE/cosF で、

 BC+CA+AB=2R・sinD/cosD+2R・sinE/cosE+2R・sinF/cosF=2R・(tanD+tanE+tanF) 、

 D+E+F=π だから tanD+tanE+tanF=tanDtanEtanF になり、

 BC+CA+AB=2R・tanDtanEtanF=2R・sinDsinEsinF/(cosDcosEcosF) 、

 △ABC=(BC+CA+AB)R/2=R2・sinDsinEsinF/(cosDcosEcosF)

  =2R2・sinDsinEsinF/(2cosDcosEcosF)=(1/2)(2R・sinD)(2R・sinE)sinF/(2cosDcosEcosF)

  =(1/2)EF・EDsinF/(2cosDcosEcosF)=△DEF/(2cosDcosEcosF) ですので、

 △ABC:△DEF=1:2cosDcosEcosF です。

 本問では、EF=10 ,FD=22 ,DE=24 ですので、

 cosD=(222+242-102)/(2・22・24)=10/11 ,cosE=(242+102-222)/(2・24・10)=2/5 ,

 cosF=(102+222-242)/(2・10・22)=1/55 だから、

 BC+CA+AB=10・11/10+22・5/2+24・55=11+55+1320=1386 になり、

 △ABC:△DEF=1:2(10/11)(2/5)(1/55)=11・5・55:2・10・2・1=605:8 です。


[解答2]

 円の中心を O とし、△ABCの内接円は △DEFの外接円であり、この半径を R とします。

 また、EF,FD,DEの中点をそれぞれL,M,Nとします。

 (10+22+24)/2=28 だから、ヘロンの公式により、

 △DEF=√{28(28-10)(28-22)(28-24)}=√(28・18・6・4)=24√21 、 

 R=10・22・24/(4・24√21)=55/√21 ,R2=3025/21 です。

 次に、△AFL∽△FOL だから AF:FO=FL:OL 、AF:R=FL:√(R2-FL2) 、

 AF=FL・R/√(R2-FL2)=LF・(R√21)/√(21R2-21FL2)=5・55/√(3025-21・52)=5・55/50=11/2 、

 同様に、BD=DM・(R√21)/√(21R2-21DM2)=11・55/√(3025-21・112)=11・55/22=55/2 、

 また、CE=EN・(R√21)/√(21R2-21EN2)=12・55/√(3025-21・122)=12・55/1=660 、

 BC+CA+AB=2(AF+BD+CE)=2(11/2+55/2+660)=1386 になります。

 △ABC=√{(AF+BD+CE)・AF・BD・CE}=√{693・(11/2)・(55/2)・660}=√(693・11・55・165)=1815√21 、

 △ABC:△DEF=1815√21:24√21=605:8 です。

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Comments 2

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ニリンソウ  

面白い形の花ですね~
雄雌同株だから花も多少違ってますね
このチョコレート色の花から白い実が出来る。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
アケビの花は面白い形ですね。
こんな花が立派な実になるのが不思議です。