[答129] 六角形の３つの頂点を結ぶ三角形の辺

[答129] 六角形の３つの頂点を結ぶ三角形の辺


　図のように、AB＝BC＝7, CD＝DE＝8, EF＝FA＝5, ∠ABC＝∠CDE＝∠EFA＝120ﾟ の六角形ABCDEF の

　３つの頂点を結ぶ　△BDF の３辺の長さは？


[解答1]

　右の図のように角α,β,γを決めます。また、面倒を避けるため、√3＝R としておきます。

　AC＝7R, CE＝8R, EA＝5R だから、

　cosα＝(5²＋7²－8²)/(2･5･7)＝1/7, sinα＝4R/7、

　cos(α＋60ﾟ)＝cosαcos60ﾟ－sinαsin60ﾟ＝(1/7)(1/2)－(4R/7)(R/2)＝－11/14、

　FB²＝5²＋7²－2･5･7cos(α＋60ﾟ)＝129。

　同様に、cosβ＝11/14, sinβ＝5R/14, cos(β＋60ﾟ)＝－1/7, BD²＝129、

　cosγ＝1/2, γ＝60ﾟ, DF²＝129。

　したがって、FB＝BD＝DF＝√129 となります。


[解答2] ナポレオンの定理を知っていれば面積を利用しても求められます。

　ナポレオンの定理
　三角形の各辺を１辺とする正三角形を、もとの三角形の外側に作ると、
　その３つの正三角形の重心を頂点とする三角形は必ず正三角形になります。
　 　証明(略証)は、https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-368.html

　△BDF は正三角形だから、FB，BD，DF に関して A，C，E に関する対称な点は一致します。

　従って、△BDF＝(1/2)六角形ABCDEF になります。

　１辺の長さが１の正三角形の面積をSとすると、

　△ACE＝120S， △CDE＝64S， △EFA＝25S， △ABC＝49S だから、

　△BDF＝(1/2)六角形ABCDEF＝(1/2)(120S＋64S＋25S＋49S)＝129S、

　△BDF の１辺は、√129 となります。