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[答129] 六角形の3つの頂点を結ぶ三角形の辺

ヤドカリ

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[答129] 六角形の3つの頂点を結ぶ三角形の辺


 図のように、AB=BC=7, CD=DE=8, EF=FA=5, ∠ABC=∠CDE=∠EFA=120゚ の六角形ABCDEF の

 3つの頂点を結ぶ △BDF の3辺の長さは?


[解答1]

 右の図のように角α,β,γを決めます。また、面倒を避けるため、√3=R としておきます。

 AC=7R, CE=8R, EA=5R だから、

 cosα=(52+72-82)/(2・5・7)=1/7, sinα=4R/7、

 cos(α+60゚)=cosαcos60゚-sinαsin60゚=(1/7)(1/2)-(4R/7)(R/2)=-11/14、

 FB2=52+72-2・5・7cos(α+60゚)=129。

 同様に、cosβ=11/14, sinβ=5R/14, cos(β+60゚)=-1/7, BD2=129、

 cosγ=1/2, γ=60゚, DF2=129。

 したがって、FB=BD=DF=√129 となります。


[解答2] ナポレオンの定理を知っていれば面積を利用しても求められます。

 ナポレオンの定理
 三角形の各辺を1辺とする正三角形を、もとの三角形の外側に作ると、
 その3つの正三角形の重心を頂点とする三角形は必ず正三角形になります。

   証明(略証)は、https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-368.html

 △BDF は正三角形だから、FB,BD,DF に関して A,C,E に関する対称な点は一致します。

 従って、△BDF=(1/2)六角形ABCDEF になります。

 1辺の長さが1の正三角形の面積をSとすると、

 △ACE=120S, △CDE=64S, △EFA=25S, △ABC=49S だから、

 △BDF=(1/2)六角形ABCDEF=(1/2)(120S+64S+25S+49S)=129S、

 △BDF の1辺は、√129 となります。

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Comments 10

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アキチャン  
No title

おはようございます。
白いお花・・・清楚で好きです (o^-^o)

uch*n*an  
No title

ナポレオンの定理もどきは思いついたものの,
[解答2]の後半の面積を使った解法は思いつきませんでした。
ただ,ちょっと気になるのは,
>△ACE=120S
はどうやって求めたのですか?
ヘロンの公式? [解答1]の方法で ∠AEC = 60°を求める?
いずれにせよ,初等幾何ではないのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
緑化センターで、アザレアの鉢植えが幾つか並んでいたうちの1つです。
私はツツジと思って撮ったのですが、アザレアって、
もともとツツジの品種改良されたものなんですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
サラッと流した所をやはり突かれましたか
△ACEの面積ですが、当然、辺が5,7,8の三角形の面積の3倍です。
その面積ですが、ヘロンでもよし、余弦定理で7の辺の対角を求めてもよし、です。
初等的に解こうとすれば、頂点から対辺に垂線をおろして、
2つの直角三角形で三平方の定理を適用すればできます。
結果的には、5の辺を底辺にすれば楽です。
5:7:8の三角形は7の対角が 60°であることを知っているから言えることですが。

uch*n*an  
No title

ふむ,結局のところ考え方は,私の解法と基本的には同じようですね。
なお,[解答1]の
>cosγ=1/2, γ=120゚
これは,γ = 60°では?

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントとご指摘を有難う御座います。
早速訂正しました。ケアレスミスでした。

いっちゃん  
No title

真っ白いのもいいですね。ポチ
ドレスみたいです^^

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
緑化センターで、偶然出会えた花の1つです。
ブログをするようになってよく行くようになったおかげです。

いっちゃん  
No title

私もブログのために、遠出するときはデジカメを
持って出るようになりました。
写真を撮る姿を見てる主人はカメラに目覚めたの?
といいます^^あはは。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントを有難う御座います。
権力を手中に収め、数学にも造詣が深かったナポレオンでもデジカメは持っていなかったはず。
現代は恵まれていますね。