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[答1388] 2辺が等しい2個の三角形

ヤドカリ

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[答1388] 2辺が等しい2個の三角形


 0<a≦b とします。2個の三角形があって、辺の長さは a,b,√39 および a,b,√19 です。
1388-2辺が等しい三角形0
 その面積比は 7:3 で、2つの三角形の長さ a,b の間の角の和が 60゚ であるとき、a+b=?


[解答1]

 長さ √39 の辺の対角を A ,長さ √19 の辺の対角を B とします。

 (1/2)ab・sinA:(1/2)ab・sinB=sinA:sinB=2sinA:2sin(60゚-A)

  =2sinA:2sin60゚cosA-2cos60゚sinA)=2sinA:{(√3)cosA-sinA}=2tanA:(√3-tanA) 、

 2tanA:(√3-tanA)=7:3 、6tanA=7√3-7tanA 、13tanA=7√3 、tanA=(7√3)/13 、

 tanB=tan(60゚-A)=(tan60゚-tanA)/(1+tan60゚tanA)=(13tan60゚-13tanA)/(13+13tan60゚tanA)

  =(13√3-7√3)/(13+13・21)=(6√3)/(13+21)=(3√3)/17 、

 1/cos2A=1+tan2A=1+147/169=316/169 ,1/cos2B=1+tan2B=1+27/289=316/289 、

 cosA=13/√316 ,cosB=17/√316 です。

 余弦定理より、cosA=(a2+b2-39)/(2ab) ,cosB=(a2+b2-19)/(2ab) だから、

 cosA:cosB=(a2+b2-39):(a2+b2-19)=13:17 、

 17(a2+b2-39)=13(a2+b2-19) 、4(a2+b2)=416 、a2+b2=104 です。

 cosA=(a2+b2-39)/(2ab)=cosA=(104-39)/(2ab)=65/(2ab)=13/√316 だから、

 2ab=5√316 、ab=5√79 です。

 (a+b)2=a2+2ab+b2=104+10√79=104+2√(79・25)=(√79+5)2 だから、

 a+b=√79+5=13.88819…… です。 


[解答2]

 図のように、2個の三角形で、KM=KN=a,KL=b,ML=√39,NL=√19 である四角形MKNLを作り、

 対角線の交点をPとし、KP=x,PL=y,∠KPM=θ とします。

 MP:PN=△MKL:△NKL=7:3 だから、MP=7k,PN=3k とおけば、

 △MKNが正三角形だから KM=KN=a=10k です。

 余弦定理より、(10k)2=x2+(7k)2-2x(7k)cosθ 、51k2=x2-14kx・cosθ 、

 また、(10k)2=x2+(3k)2-2x(3k)cos(180゚-θ) 、91k2=x2+6kx・cosθ 、

 辺々減じて、-40k2=-20kx・cosθ 、2k=x・cosθ になり、

 51k2=x2-14k・2k 、x2=79k2 、x=k√79 、cosθ=2k/x=2/√79 です。

 余弦定理より、39=y2+(7k)2-2y(7k)cos(180゚-θ) 、39=y2+49k2+28ky/√79 、

 また、19=y2+(3k)2-2y(3k)cosθ 、19=y2+9k2-12ky/√79 、

 辺々減じて、20=40k2+40ky/√79 、1=2k2+2ky/√79 、19=38k2+38ky/√79 になり、

 38k2+38ky/√79=y2+9k2-12ky/√79 、y2-50ky/√79-29k2=0 、

 (y-79k/√79)(y+29k/√79)=0 、y=79k/√79=k√79 です。

 1=2k2+2ky/√79 に代入して、1=2k2+2k2 、k=1/2 です。

 a+b=a+x+y=10k+k√79+k√79=2k(5+√79)=5+√79=13.88819…… です。 

1388-2辺が等しい三角形

[解答3]

 図のように、2個の三角形の長さbの辺を合わせ、長さaの辺をcだけ延長して正三角形を作れば、

 青色と橙色三角形の面積比が 7:3 だから、水色と黄色を含めても面積比が 7:3 、

 正三角形の A+B の角の対辺も 7:3 に分けられ、その長さを 7k,3k とすれば、a+c=10k です。

 一般に、2辺が x,y でその間の角が 60゚ である三角形のもう1つの辺が z のとき、

 三角形3個を正三角形状に並べて面積比を考えれば、z2=(x+y)2-3xy 、z2=x2-xy+y2 です。

 よって、39=c2-7kc+49k2 ,19=c2-3kc+9k2 になり、

 辺々減じて、20=-4kc+40k2 、kc=10k2-5 になり、10k2-5>0 より k2>1/2 です。

 19=c2-3kc+9k2 より 19k2=k2c2-3k2kc+9k4 、19k2=(10k2-5)2-3k2(10k2-5)+9k4

 19k2=100k4-100k2+25-30k4+15k2+9k4 、79k4-104k2+25=0 、(k2-1)(79k2-25)=0 、

 k2>1/2 だから k2=1 、k=1 です。

 また、kc=10k2-5 より c=10-5=5 、a+c=10k より c=5 です。

 b2=102-10・3+32=79 、b=√79 、a+b=5+√79=13.88819…… です。 

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Comments 2

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ニrンソウ  

優しげな色ですね。
山では白しか見ない、中越地区には
赤もピンクもあるらしいけど。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
イカリソウの淡い色は素敵です。
不思議な花の形をしています。