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[答1389] 斜辺を共有する直角三角形

ヤドカリ

ヤドカリ

P4100275.jpg



[答1389] 斜辺を共有する直角三角形


 △ABCの頂点Aが 辺BCを直径とする半円内にあります。

 BAの延長と半円の弧との交点をP ,CAの延長と半円の弧との交点をQ とし、

 Aから辺BCにおろした垂線をAHとします。
1389-半円内の三角形0
 BP:CQ=62:57 ,BH:HC=93:76 のとき、△ABCの辺の比 BC:CA:AB=?

 なお、図は正確ではありません。


[解答1]

 拡大・縮小しても比は変わらないので、BC=2 とし、

 xy平面上で B(-1,0),C(1,0) とすれば、H(17/169,0),半円は (x+1)(x-1)+y2=0 です。

 c<0<b とし、BP,CQの傾きを b,c 、P,Qのx座標を p,q とします。

 BP:y=b(x+1) ,CQ:y=c(x-1) であり、P,Qのy座標は b(p+1),c(q-1) です。

 x=17/169 のとき b(x+1)=c(x-1) だから、b(17/169+1)=c(17/169-1) 、93b=-76c です。

 また、(p+1)(p-1)+b2(p+1)2=0 ,p≠-1 より p-1+b2(p+1)=0 、(1+b2)(p+1)=2 、

 p+1=2/(1+b2) 、BP=(p+1)√(1+b2)=2/√(1+b2) であり、

 (q+1)(q-1)+c2(q-1)2=0 ,q≠1 より (q+1)+c2(q-1)=0 、(1+c2)(q-1)=-2 、

 1-q=2/(1+c2) 、CQ=(1-q)√(1+c2)=2/√(1+c2) で、

 BP:CQ=2/√(1+b2):2/√(1+c2)=√(1+c2):√(1+b2)=62:57 になり、

 (1+c2):(1+b2)=622:572 、622+622b2=572+572c2 、(62b+57c)(62b-57c)=-119・5 、

 (186b+171c)(186b-171c)=-119・5・9 、(-152c+171c)(-152c-171c)=-119・5・9 、

 -19・323c2=-119・5・9 、192・c2=9・35 、c2=315/192 、b2=762c2/932=560/312 です。

 よって、1+b2=1521/312 ,1+c2=676/192 、√(1+b2)=39/31 ,√(1+c2)=26/19 になり、

 AB=BP・BH/(p+1)=BH√(1+b2)=(186/169)(39/31)=18/13 ,

 CA=CQ・CH/(1-q)=CH√(1+c2)=(152/169)(26/19)=16/13 になり、 

 BC:CA:AB=2:16/13:18/13=13:8:9 です。


[解答2]

 拡大・縮小しても比は変わらないので、BC=1 とし、∠ABC=β ,∠ACB=γ とすれば、

 BP=cosβ,CQ=cosγ であり、BP:CQ=62:57 より 62/cosβ=57/cosγ です。

 また、BHtanβ=CHtanγ であり、BH:HC=93:76 より 93tanβ=76tanγ です。

 622/cos2β=572/cos2γ より 622(1+tan2β)=572(1+tan2γ)=32(192+192tan2γ) 、

 622・42(1+tan2β)=32(762+762tan2γ)=32(762+932tan2β) 、

 2482+2482tan2β=2282+2792tan2β 、(2792-2482)tan2β=2482-2282

 527・31tan2β=476・20 、tan2β=560/961 、tan2γ=315/361 になり、

 1/cos2β=1+tan2β=1521/961 ,1/cos2γ=1+tan2γ=676/361 、

 1/cosβ=39/31 ,1/cosγ=26/19 、

 AB=BH/cosβ=(93/169)(39/31)=9/13 ,HC/cosγ=(76/169)(26/19)=8/13 ですので、

 BC:CA:AB=1:8/13:9/13=13:8:9 です。

     1389-半円内の三角形

[解答3]

 BP=62a ,CQ=57a ,BH=93b ,HC=76b とします。

 △CQB∽△CHA ですので、QB/HA=CQ/CH=(57a)/(76b)=(3a)/(4b) 、

 △BPC∽△BHA ですので、PC/HA=BP/BH=(62a)/(93b)=(2a)/(3b) 、

 よって、QB:PC=QB/HA:PC/HA=(3a)/(4b):(2a)/(3b)=3/4:2/3=9:8 です。

 △ABQ∽△ACP ですので、AB:AC=AQ:AP=QB:PC=9:8 だから、

 AB=9c ,AC=8c ,AQ=9d ,AP=8d とおけば、

 BP:CQ=62:57 より、(BA+AP):(CA+AQ)=62:57 、(9c+8d):(8c+9d)=62:57 、

 513c+456d=496c+558d 、17c=102d 、c=6d です。

 三平方の定理により、BQ2=BC2-CQ2=BA2-AQ2

 BC2=BA2+CQ2-AQ2=BA2+(CQ-AQ)(CQ+AQ)=BA2+CA(CA+2AQ)=(9c)2+8c(8c+2・9d)

  =81c2+8c(8c+18d)=81c2+8c(8c+3c)=169c2 、BC=13c です。

 よって、BC:CA:AB=13c:8c:9c=13:8:9 です。

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Comments 2

There are no comments yet.
ニリンソウ  

いいですね~~~~
なんで新潟では蓮華草が見れないのかな
だれか種まきするのですか。

レンゲ畑が見てみたい。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
多分、農家の方が種まきをしているのだと思います。
このごろ外出を自粛しているため、少し前の写真です。