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[答1390] 数列の項の相加平均

ヤドカリ

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[答1390] 数列の項の相加平均


 1249項からなる有限数列 a1,a2,a3,……,a1249 があり、

 初項と末項以外のどの項も両隣の項の相加平均より1小さい(an=(an-1+an+1)/2-1)。

 中央の項 a625=9000 のとき、この1249項の相加平均は?


[解答1]

 an=(an-1+an+1)/2-1 より、an+1-an=an-an-1+2 、

 数列{an+1-an}は公差が2の等差数列になり、an+1-an=2n+p とします。

 n=1,2,3,……,k-1 (k≧2) として加えれば、ak-a1=2・(k-1)k/2+p(k-1) 、

 ak=(k-1)k+p(k-1)=k2+(p-1)k-p+a1 で、この式は k=1 のときも成り立ちます。

 改めて、ak=k2+qk+r とおけば、

 a1+a2+a3+……+a1249

  =(12+22+32+……+12492)+q(1+2+3+……+1249)+1249r

  =1249・1250・2499/6+q・1249・1250/2+1249r=1249(520625+625q+r)

 1249項の相加平均は、520625+625q+r=520625-6252+6252+625q+r=130000+a625=139000 です。


[解答2]

 an-k+an+k=(an-k-1+an-k+1)/2-1+(an+k-1+an+k+1)/2-1 だから、

 (an-k-1+an+k+1)/2=an-k+an+k-(an-k+1+an+k-1)/2+2 になり、

 k=1 とすれば、(an-2+an+2)/2=an-1+an+1-an+2=2(an+2)-an+2=an+4 です。

 よって、(an-k+an+k)/2=an+k2 は k=1,2 のとき成り立ちます。

 (an-k+an+k)/2=an+k2 ,(an-k+1+an+k-1)/2=an+(k-1)2 とすれば、

 (an-k-1+an+k+1)/2=2(an+k2)-an-(k-1)2+2=an+(k+1)2 だから、

 (an-k+an+k)/2=an+k2 は この数列が続く限り、すべての自然数kについて成り立ちます。

 an-k+an+k=2an+2k2 を、n=625 ,k=1,2,3,……,624 として加え、さらに a625 を加えれば、

 a1+a2+a3+……+a1249=1249a625+2(12+22+32+……+6242)=1249a625+2・624・625・1249/6 、

 1249項の相加平均は、a625+2・624・625/6=9000+130000=139000 です。


[解答3] たけちゃんさんの解答

 an-n2=bn として,条件より

 bn+n2=〔{bn-1+(n-1)2}+{bn+1+(n+1)2}〕/2-1

  =(bn-1+bn+1+2n2+2)/2-1

  =(bn-1+bn+1)/2+n2.

 これより,bn+1-bn=bn-bn-1 であり,bn は等差数列をなす.

 b625=9000-6252 は,有限等差数列 b1,b2,……,b1249 の中央の項だから,

 そのまま b1,b2,……,b1249 の相加平均であり,

 a1,a2,……,a1249の相加平均は,

 b625+(12+22+32+……+12492)/1249

  =9000-6252+(1249・1250・2499/6)/1249=9000-6252+1250・2499/6=139000.

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