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[答1391] 60゚の内角をもつ三角形

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1391] 60゚の内角をもつ三角形


 図のような鋭角三角形ABCの CからABへの垂線をCHとします。
1391-三角形と垂線0
 ∠ACB=60゚ ,AH+AC=26 ,BH+BC=52/5 のとき、BH=? また、BC=?


[解答1]

 三平方の定理により、CH2=AC2-AH2=BC2-BH2 、(AC+AH)(AC-AH)=(BC+BH)(BC-BH) 、

 26(AC-AH)=(52/5)(BC-BH) 、5(AC-AH)=2(BC-BH) 、5AC-2BC=5AH-2BH ……(1)

 また、(52/5)(AH+AC)=26(BH+BC) より、2(AH+AC)=5(BH+BC) 、2AC-5BC=-2AH+5BH ……(2)

 (1)+(2) より 7(AC-BC)=3(AH+BH)=3AB です。余弦定理でもいいのですが、

 1辺が AC+BC の正三角形は △ABCを3個と1辺が AB の正三角形に分けられるので、

 面積比を考えて、(AC+BC)2=3・AC・BC+AB2 、9(AC+BC)2=9・AC・BC+(3AB)2

 9(AC+BC)2=9・AC・BC+49(AC-BC)2 、9AC2+18・AC・BC+9BC2=9・AC・BC+49AC2-98・AC・BC+49BC2

 40AC2-89・AC・BC+40BC2=0 、(8AC-5BC)(5AC-8BC)=0 、AC>BC だから、5AC=8BC です。

 また、3AB=7(AC-BC) だから、15AB=7(5AC-5BC)=7(8BC-5BC)=21BC 、5AB=7BC です。

 (2)と AH=AB-BH より、2AC-5BC=-2(AB-BH)+5BH 、7BH=2AC-5BC+2AB 、

 35BH=2・5AC-5・5BC+2・5AB=2・8BC-5・5BC+2・7BC=5BC 、BC=7BH です。

 BH+BC=52/5 より、BH+7BH=52/5 、BH=13/10=1.3 、BC=7BH=91/10=9.1 です。

1391-三角形と垂線

[解答2]

 頂点から対辺への垂線を AD,BE,CH とし、△ABCの垂心をPとします。

 簡単のため、13/5=k とすれば、AH+AC=10k,BH+BC=4k です。

 ∠PAE=∠PBD=30゚ だから、AP=2a√3,PE=a√3,AE=3a,BP=2b√3,PD=b√3,BD=3b とすれば、

 CD=AD/√3=2a+b,CE=BE/√3=a+2b,AC=4a+2b,BC=2a+4b になります。

 CH2=AC2-AH2=BC2-BH2 だから、(AC+AH)(AC-AH)=(BC+BH)(BC-BH) 、

 (AC+AH)(2AC-AC-AH)=(BC+BH)(2BC-BC-BH) 、10k(8a+4b-10k)=4k(4a+8b-4k) 、

 40a+20b-50k=8a+16b-8k 、b=-8a+21k/2 になり、

 AH+AC=10k,BH+BC=4k を辺々加えて AB+6a+6b=14k 、AB+6a+6b=14k 、AB=42a-49k 、

 BE=(a+2b)√3=(-15a+21k)√3 です。

 AB2=AE2+BE2 より (42a-49k)2=(3a)2+3(-15a+21k)2 、540a2-1113ka+539k2=0 、

 (9a-7k)(60a-77k)=0 、ここで a>b=-8a+21k/2 、a>7k/6 だから a=77k/60 、

 BC=2a+4b=-30a+42k=7k/2=91/10=9.1 ,BH=52/5-BC=13/10=1.3 です。


[解答3] たけちゃんさんのコメントを参考に

 ∠B=2β とすれば、BH/CH=1/tan2β ,BC/CH=1/sin2β だから、

 (BH+BC)/CH=1/tan2β+1/sin2β=(cos2β+1)/sin2β=2cos2β/(2sinβcosβ)=1/tanβ 、

 ∠A=2α とすれば、同様に (AH+AC)/CH=1/tanα です。

 (BH+BC):(AH+AC)=52/5:26=2:5 、よって、1/tanβ:1/tanα=2:5 、

 5/tanβ=2/tanα になり、tanβ=5k ,tanα=2k とおきます。

 α+β=60゚ だから、tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=√3 、

 (2k+5k)/(1-10k2)=√3 、(10√3)k2+7k-√3=0 、(10k-√3)(k√3+1)=0 、

 k=(√3)/10 、tanβ=(√3)/2 になり、

 tan2β:sin2β=2tanβ/(1-tan2β):2tanβ/(1+tan2β)=(1+tan2β):(1-tan2β) 、

  =7/4:1/4=7:1 、

 1/tan2β:1/sin2β=1:7 、BH:BC=1:7 、BH+BC=52/5 だから、

 BH=(52/5)・1/8=13/10=1.3 ,BC=(52/5)・7/8=91/10=9.1 です。

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Comments 2

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ニリンソウ  

これは私が好きなニリンソう 笑
葉の麩点が目印です。

昨日の里山ではどっさり・・山が似合う花です。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
もう少し、多くの花が咲いてくれていれば良かったのですが、
見られただけでもよかったです。