[答1392] 49次方程式

[答1392] 49次方程式
49次方程式 x49-2931x2+29x+31=0 の 49個の解の 48乗の総和は?
[解答]
Σは k=1,2,3,……,49 の和を表すものとします。
解を ak (k=1,2,3,……,49) とすれば、解と係数の関係により、Σak=0 です。
また、ak≠0 で、ak49-2931ak2+29ak+31=0 、
1-2931/ak47+29/ak48+31/ak49=0 だから、
31x49+29x48-2931x47+1=0 の解が 1/ak (k=1,2,3,……,49) 、
解と係数の関係により、Σ1/ak=-29/31 です。
ak49=2931ak2-29ak-31 だから、ak48=2931ak-29-31/ak 、
Σak48=2931Σak-29Σ1-31Σ1/ak
=2931・0-29・49-31(-29/31)=-29(49-1)=-1392 です。
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