[答1392] 49次方程式

[答1392] 49次方程式


　49次方程式 x⁴⁹－2931x²＋29x＋31＝0 の 49個の解の 48乗の総和は？


[解答]

　Σは k＝1，2，3，……，49 の和を表すものとします。

　解を a_k (k＝1，2，3，……，49) とすれば、解と係数の関係により、Σa_k＝0 です。

　また、a_k≠0 で、a_k⁴⁹－2931a_k²＋29a_k＋31＝0 、

　1－2931/a_k⁴⁷＋29/a_k⁴⁸＋31/a_k⁴⁹＝0 だから、

　31x⁴⁹＋29x⁴⁸－2931x⁴⁷＋1＝0 の解が 1/a_k (k＝1，2，3，……，49) 、

　解と係数の関係により、Σ1/a_k＝－29/31 です。

　a_k⁴⁹＝2931a_k²－29a_k－31 だから、a_k⁴⁸＝2931a_k－29－31/a_k 、

　Σa_k⁴⁸＝2931Σa_k－29Σ1－31Σ1/a_k

　 ＝2931･0－29･49－31(－29/31)＝－29(49－1)＝－1392 です。

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