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[答1393] 楕円の長軸

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1393] 楕円の長軸


 xyz空間で、平面 4x+4y-z-85=0 と 円筒 x2+y2-14x-6y-14=0 とが交わってできる楕円の

 長半径(長軸の長さの1/2)は? また、長軸の端点の座標は?


[解答]

 楕円の中心を Cとします。

 円筒は (x-7)2+(y-3)2=72 だから、Cは 直線 x=7,y=3 上にあり、

 平面 z=4x+4y-85 上にもあるので、C(7,3,-45) です。

 楕円上の点を P(x,y,z)とすれば、(x-7)2+(y-3)2=72 ,z=4x+4y-85 が成り立ち、

 CP2=(x-7)2+(y-3)2+(z+45)2=72+(4x+4y-85+45)2=72+16(x+y-10)2 です。

 コーシー・シュワルツの不等式によれば、

 (ap+bq)2≦(a2+b2)(p2+q2) であり、等号は p/a=q/b のときに成り立つので、

 a=b=1,p=x-7,q=y-3 として適用すれば、

 (x+y-10)2≦2{(x-7)2+(y-3)2}=2・72=144 、

 等号は (x-7)/1=(y-3)/1 、すなわち、y=x-4 のとき成り立ちます。

 よって、CP2=72+16(x+y-10)2≦72+16・144=36(2+16・4)=36・66 、CP≦6√66 です。

 長半径は 6√66 で、(x-7)2+(y-3)2=72 ,y-3=x-7 より、(x-7)2+(x-7)2=72 、(x-7)2=36 、

 x=13,1 で、y=x-4 ,z=4x+4y-85 だから、(x,y,z)=(13,9,3),(1,-3,-93) です。


[解答2]

 円筒は (x-7)2+(y-3)2=72 です。

 直線 x=7,y=3 を含む平面を (x-7)+k(y-3)=0 とおけば、x+ky-7-3k=0 と表され、

 平面 4x+4y-z-85=0 に垂直であれば、4・1+4k-1・0=0 だから、k=-1 、x-y-4=0 で、

 これと、4x+4y-z-85=0 の交線が 長軸を含む直線です。

 y=x-4 を (x-7)2+(y-3)2=72 に代入し、2(x-7)2=72 、x=x=13,1 で、

 y=x-4 ,z=4x+4y-85 だから、長軸の端点の座標は (13,9,3),(1,-3,-93) です。

 長半径は、(1/2)√(122+122+962)=(1/2)・12√(12+12+82)=6√66 です。

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Comments 4

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンアーベント ^^

[解答2]もどきでしたが...
平面の方程式は、x,yを交換しても対称なので、y=xに対してz平面に平行なものが短軸
y=x方向が長軸の方向
so...
y-3=x-7
y=x-4と円筒を真上から見たときの交点が長軸の端点
so...(1,-3),(13,9)
この時、端点は 4x+4y-z-85=0 から、
(1,-3,-93), (13,9,3)
以下略
のように求まりました ^^

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
そのようにすれば解けますね。
平面をもう少し複雑にする方がよかったかも知れません。

ニリンソウ  

大阪はまだ不要不急の外出は自粛でしょうから
これはご近所かな
木の花でしょうか、見たことあるような無いような!

見回せば身近に季節の花は案外あるものなのですね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
ジャスミンの花です。
鉄道のフェンスで見たものです。