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[答1394] 3個の正方形

ヤドカリ

ヤドカリ

P4180438.jpg



[答1394] 3個の正方形


 △PQRがあり、その外部に 正方形QABR,正方形RCDP,正方形PEFQ を描きます。
1394-3個の正方形0
 PA=11 ,QC=3√13 ,RE=√106 のとき、△PQR=? また、3つの正方形の面積の和は?


[解答]

 △PQR=S ,QR=p ,RP=q ,PQ=r とします。
1394-3個の正方形
 △QFR は △QPA を Q を中心に 90゚ 回転したものだから、FR=PA ,FR⊥PA になり、

 四角形PFAR=PA2/2 、

 また、△FAQ=△PQR だから、正方形PEFQ/2+正方形QABR/2+2△PQR=PA2/2 、

 正方形PEFQ+正方形QABR+4△PQR=PA2 、r2+p2+4S=PA2=121 ……(1) です。

 同様に、p2+q2+4S=QC2=117 ……(2) ,q2+r2+4S=RE2=106 ……(3) になり、

 ((1)+(2)+(3))/2 より p2+q2+r2+6S=172 、p2+q2+r2+4S=172-2S ……(4)

 (4)-(3) ,(4)-(1) ,(4)-(2) より p2=66-2S ,q2=51-2S ,r2=55-2S です。

 次に、ヘロンの公式により、(4S)2=(p+q+r)(-p+q+r)(p-q+r)(p+q-r) ですので、

 16S2=(q2+r2-p2+2qr)(p2-q2-r2+2qr)=4q2r2-(q2+r2-p2)2

 16S2=4(51-2S)(55-2S)-(51-2S+55-2S-66+2S)2 、16S2=4(51-2S)(55-2S)-(40-2S)2

 16S2=4(2805-212S+4S2)-(1600-160S+4S2) 、16S2=11220-848S+16S2-1600+160S-4S2

 4S2+688S-9620=0 、S2+172S-2405=0 、(S-13)(S+185)=0 、S>0 より S=13 です。

 (4)より、p2+q2+r2 をまとめて計算できますが、それぞれ、

 p2=66-2S=40 ,q2=51-2S=25 ,r2=55-2S=29 、p2+q2+r2=94 です。

 △PQR=13 ,3つの正方形の面積の和は 94 です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

そっか!!

>(4S)^2=(p+q+r)(-p+q+r)(p-q+r)(p+q-r) ですので、

>16S^2=(q^2+r^2-p^2+2qr)(p^2-q^2-r^2+2qr)=4q^2r^2-(q^2+r^2-p^2)^2

に気づけませんでした...^^;☆
so...PCにお願いしてしまいましたわ...Orz〜

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
ちょっとした工夫で計算できますね。
私は計算の工夫も含めて作問しているつもりです。