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[答1395] 和で表される最小自然数

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1395] 和で表される最小自然数


 1+2+3=6 ,2+3+4=9 ,3+4+5=12 ,4+5+6=15 ,5+6+7=18 ,6+7+8=21 ,…… 、

 1+2+3+4=10 ,2+3+4+5=14 ,3+4+5+6=18 ,4+5+6+7=22 ,5+6+7+8=26 ,……

 ですので、18は3個の連続自然数の和でもあり4個の連続自然数の和でもある最小自然数です。

 では、30個の連続自然数の和でもあり 31個の連続自然数の和でもある最小自然数は?

 また、259個の連続自然数の和でもあり 260個の連続自然数の和でもある最小自然数は?


[解答1]

 Nが奇数のとき、N個の連続自然数の平均は中央の数ですので、和はNの倍数です。

 また、和が 1+2+……+N 以上のNの倍数であればN個の連続自然数の和になります。

 30個の連続自然数の和でもあり 31個の連続自然数の和でもある最小自然数は

  1+2+……+30=30・31/2=15・31 だから、30個の連続自然数の和は 15・31+30k で表され、

  31個の連続自然数の和でもあるので、kは31の倍数で 1以上です。

  最小のものは、k=31 であり、15・31+30・31=45・31=1395 です。

 259個の連続自然数の和でもあり 260個の連続自然数の和でもある最小自然数は

  1+2+……+260=260・261/2=130・261 だから、

  260個の連続自然数の和は 130・261+260k=130(261+2k) で表され、

  259個の連続自然数の和でもあるので、261+2k は 259の倍数で 261以上です。

  最小のものは、261+2k=3・259 であり、130・3・259=101010 です。


[解答2]

 kを自然数として、-k から k までの (2k+1)個の自然数の和は 0 だから、

 連続する(2k+1)個の整数の和は、中央の数をaとして (2k+1)a で表され、

 -(k-1) から k までの 2k個の自然数の和は k だから、

 連続する2k個の整数の和は、上記の場合から最小数 a-k を除いて、

 (2k+1)a-(a-k)=(2a+1)k で表されますので、

 連続するn個の整数の和は、nが奇数であればnの倍数、nが偶数であれば(n/2)の奇数倍です。

 30個の連続自然数の和でもあり 31個の連続自然数の和でもある自然数は

  31の倍数で 15の奇数倍ですので、初項が 31・15 ,公差が 31・30 の等差数列の項になり、

  1+2+……+31=31・32/2=31・16 以上の最小の項は 31・45=1395 です。

 259個の連続自然数の和でもあり 260個の連続自然数の和でもある自然数は

  259の倍数で 130の奇数倍ですので、初項が 259・130 ,公差が 259・260 の等差数列の項になり、

  1+2+……+260=260・261/2=261・130 以上の最小の項は 259・390=101010 です。

 なお、n個の連続自然数の和でもあり (n+1)個の連続自然数の和でもある最小自然数は

 n,n+1 のうちの 奇数 と 偶数の(3/2)倍 の積ですので、3n(n+1)/2 です。


[解答3] たけちゃんさんの解答より

 n個の連続自然数の和として最小なのは 1+2+3+……+n=n(n+1)/2 であり,

 最小でないものは,2+3+4+……+(n+1),3+4+5+……+(n+2) などがあり得て,

 1+2+3+……+n のすべての項に1ずつ,2ずつ,…… 加えたものだから,

 結局,n個の連続自然数の和で表されるものは,

 「n(n+1)/2 に n の整数倍(0倍以上)を足したもの」と表されます.

 n+1個の,連続する「負でない整数」の和として最小なのは

 0+1+2+……+n=n(n+1)/2 であり,最小でないものは,上と同様に,

 0+1+2+3+……+n のすべての項に1ずつ,2ずつ,…… 加えたものだから,

 結局,n+1 個の連続する「負でない整数」の和で表されるものは,

 「n(n+1)/2 に n+1 の整数倍(0倍以上)を足したもの」と表され,

 n+1 個の連続する「自然数」の和の場合は,0倍だけが禁止されます.

 すると,n個,n+1個の連続する自然数の和で表される数は,n(n+1)/2 に,

 (nの整数倍(0倍以上))とも(n+1の自然数倍)とも表される数を足したもので,

 その最小値は,n(n+1)/2 に,n と n+1 の最小公倍数を加えたものです.

 n,n+1 が互いに素であることから,n,n+1 の最小公倍数は n(n+1) であり,

 結局,最小数は n(n+1)/2+n(n+1)=3n(n+1)/2 と確定します.


[解答4] スモークマンさんの発想より

 31個の連続自然数の最小数が 30の倍数 30k であれば、他の30個の数に k を加えることで

 30個の連続自然数になり、その和は 30k からの 31個の自然数の和と等しくなります。

 最小になるのは 30 からの 31個の自然数の和で、(30+60)・31/2=1395 です。

 後半も同様に、259 からの 260個の自然数の和で、(259+518)・260/2=101010 です。


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Comments 8

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たけちゃん  

私のアプローチも一応提示させていただきます.

n個の連続自然数の和として最小なのは1+2+3+…+n=n(n+1)/2であり,
最小でないものは,2+3+4+…+(n+1),3+4+5+…+(n+2)などがあり得て,
1+2+3+…+nのすべての項に1ずつ,2ずつ,…加えたものだから,
結局,n個の連続自然数の和で表されるものは,
「n(n+1)/2にnの整数倍(0倍以上)を足したもの」
と表されます.

n+1個の,連続する「負でない整数」の和として最小なのは
0+1+2+…+n=n(n+1)/2であり,最小でないものは,上と同様に,
0+1+2+3+…+nのすべての項に1ずつ,2ずつ,…加えたものだから,
結局,n+1個の連続する「負でない整数」の和で表されるものは,
「n(n+1)/2にn+1の整数倍(0倍以上)を足したもの」と表され,
n+1個の連続する「自然数」の和の場合は,0倍だけが禁止されます.

すると,n個,n+1個の連続する自然数の和で表される数は,n(n+1)/2に,
(nの整数倍(0倍以上))とも(n+1の自然数倍)とも表される数を足したもので,
その最小値は,n(n+1)/2に,nとn+1の最小公倍数を加えたものです.

n,n+1が互いに素であることから,n,n+1の最小公倍数はn(n+1)であり,
結局,最小数はn(n+1)/2+n(n+1)=3n(n+1)/2と確定します.

ニリンソウ  

紫蘭さっそく載せてくれましたね。
庭のはやっと蕾が立ってきたところですよ。
大阪はまだ宣言解けないようですが
今しばらく気を付けてお過ごしください。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

たけちゃんさん、コメントを有難うございます。
遅ればせながら、解答に加えさせて頂きました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
当方では少し前から咲いています。
道端の撮りやすい花に目がいくようになりました。

スモークマン  
グーテンアーベント ^^

たしかわたしは...
31番目から30個に分ければいいので...
1ずつ分けたら、1余るので...最低2個分ければいいので、max=2*30=60
so...60〜30=90*31/2=2790/2=1395

同じく...
260を1ずつ259に分けたら1余るので、260番目は2*259=518
so...518〜259=777*260/2=101010

のように考えました ^^v

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
その発想での解答を追加させて頂きました。

スモークマン  
グーテンモルゲン ^^

取り上げていただき恐縮です〜m(_ _)m〜
わたしのとは逆パターンですが、なるほどです♪

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンモルゲン ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
私なりに考え、なるべく分かり易い表現にしました。