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[答1397] 星形と長さ

ヤドカリ

ヤドカリ

P5090649.jpg



[答1397] 星形と長さ


 図のような五角形ABCDEの対角線でできた星形があり、BDとCE,CEとDA,DAとEB,EBとAC,ACとBD

 の交点をそれぞれP,Q,R,S,Tとします。
1397-星形0
 AR=AS=18 ,CT=CP=36 ,DP=DQ=21 ,BS:ER=1:2 のとき、ST=? また、BT=?


[解答]

 青色で示した6個の角が等しく、橙色で示した4個の角が等しいです。

 △BTS∽△EQR で 相似比は BS:ER=1:2 、ST=x ,BT=y とおけば、RQ=2x ,EQ=2y です。

 △CPT∽△DPQ で 相似比は CP:DP=36:21=12:7 、PT=12k とおけば、PQ=7k です。
1397-星形
 △ACQ∽△ADT だから、AC/AD=AQ/AT=CQ/DT 、

 (x+54)/(2x+39)=(2x+18)/(x+18)=(7k+36)/(12k+21) 、

 (x+54)/(2x+39)=(2x+18)/(x+18) より、(2x+18)(2x+39)=(x+54)(x+18) 、

 4x2+114x+702=x2+72x+972 、3x2+42x=270 、x2+14x=90 、x2+14x+49=139 、

 (x+7)2=139 、x>0 だから、x+7=√139 、x=√139-7 です。

 (2x+18)/(x+18)=(7k+36)/(12k+21) より、(2x+18)(12k+21)=(x+18)(7k+36) 、

 24xk+42x+216k+378=7xk+36x+126k+648 、(17x+90)k=6(45-x) 、

 (17√139-29)k=6(52-√139) 、(17√139-29)(17√139+29)k=6(52-√139)(17√139+29) 、

 39330k=6・855(√139-1) 、k=3(√139-1)/23 です。

 次に、∠E=∠B だから、PE=PB 、2y+7k=y+12k 、y=5k=15(√139-1)/23 です。

 まとめて、ST=x=√139-7 ,BT=y=15(√139-1)/23 です。

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Comments 2

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ニリンソウ  

青とピンクの綺麗な花畑ですね
花壇かな~野原かな

今の時期は何処歩いても花がある
自粛は解けても蜜はなるべく避けての行動です
自然はいいですね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントをありがとうございます。
花壇に咲いていました。
勿忘草の小さな花が妙に目立っていました。