FC2ブログ

Welcome to my blog

[答1398] 三角形の辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ

P5140715.jpg



[答1398] 三角形の辺の比


 △ABCの外接円上に点Pがあり、AP,BCが点Qで交わっています。
1398-三角形の辺の比0
 PA:PB:PC=2:2:1 ,AQ:QP=12:13 のとき、△ABCの辺の比 BC:CA:AB=?


[解答1]

 AQ:QP=12:13 より AQ=24k ,QP=26k と表せ、

 PA=50k ,PA:PB:PC=2:2:1 より PB=50k ,PC=25k になります。

 △QBA∽△QPC より、QB:QP=BA:PC 、QB=AB・QP/PC=26AB/25 、

 △QCA∽△QPB より、QC:QP=CA:PB 、QC=CA・QP/PB=13CA/25 になり、

 QB+QC=BC だから、26AB/25+13CA/25=BC 、2AB+CA=25BC/13 ……(1) です。

 トレミーの定理より PC・AB+PB・CA=PA・BC 、25kAB+50kCA=50kBC 、AB+2CA=2BC ……(2) です。

 (1)+(2) より、3AB+3CA=51BC/13 、AB+CA=17BC/13 ……(3) になり、

 (1)-(3) より、AB=8BC/13 、(2)-(3) より、CA=9BC/13 、

 よって、BC:CA:AB=BC:9BC/13:8BC/13=13:9:8 です。

1398-三角形の辺の比

[解答2]

 PC=x ,CA=b ,AB=c とおけば、PB:PC=2:1 より BP=2x です。

 QC:QA:QB:QP=bx:bc:2cx:2x2 になり、AQ:QP=bc:2x2=12:13 より bc=24x2/13 です。

 QC=bxk ,QA=bck ,QB=2cxk ,QP=2x2k とおけば、

 BC=(b+2c)xk ,AP=(bc+2x2)k=(24x2/13+2x2)k=50x2k/13 です。

 PA=PB より 50x2k/13=2x 、xk=13/25 です。

 トレミーの定理より AB・PC+CA・BP=AP・BC 、cx+2bx=(b+2c)xk・50x2k/13 、

 c+2b=(b+2c)xk・50xk/13 、c+2b=(b+2c)(13/25)・50(13/25)/13 、25(c+2b)=26(b+2c) 、

 24b=27c 、b=9c/8 、BC=(b+2c)xk=(9c/8+2c)・13/25=13c/8 です。

 よって、BC:CA:AB=13c/8:9c/8:c=13:9:8 です。

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
ニリンソウ  

ちょっと絵画のように感じました。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
外出自粛のため、早朝に散歩すると、
ナガミヒナゲシが朝日に照らされていました。