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[答1399] 定積分の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1399] 定積分の値


 -11 {(10t10-7t8)/(et+1)}dt=?


[解答1]

 I=∫-11 {(10t10-7t8)/(et+1)}dt とおきます。

 t=-x とおけば、dt=-dx ,t=-1 のとき x=1 ,t=1 のとき x=-1 だから、

 I=∫1-1 {(10x10-7x8)/(e-x+1)}(-dx) =∫-11 {(10x10-7x8)/(e-x+1)}dx

  =∫-11 {(10x10-7x8)ex/(1+ex)}dx =∫-11 {(10t10-7t8)et/(et+1)}dt になり、

  2I=∫-11 {(10t10-7t8)et/(et+1)}dt +∫-11 {(10t10-7t8)/(et+1)}dt

  =∫-11 {(10t10-7t8)(et+1)/(et+1)}dt =∫-11 (10t10-7t8)dt =2∫01 (10t10-7t8)dt

 I=∫01 (10t10-7t8)dt =[10t11/11-7t9/9]01=10/11-7/9=13/99 です。


[解答1']

 I=∫-10 {(10t10-7t8)/(et+1)}dt とおきます。

 t=-x とおけば、dt=-dx ,t=-1 のとき x=1 ,t=0 のとき x=0 だから、

 I=∫10 {(10x10-7x8)/(e-x+1)}(-dx) =∫01 {(10x10-7x8)/(e-x+1)}dx

  =∫01 {(10x10-7x8)ex/(1+ex)}dx =∫01 {(10t10-7t8)et/(et+1)}dt になり、

 与式=I+∫01 {(10t10-7t8)/(et+1)}dt =∫01 {(10t10-7t8)(et+1)/(et+1)}dt

  =∫01 (10t10-7t8)dt =[10t11/11-7t9/9]01=10/11-7/9=13/99 です。


[解答2]

 f(x)=∫-xx {(10t10-7t8)/(et+1)}dt とおき、f(1) を求めます。

 f(0)=0 で、

 f'(x)=(10x10-7x8)/(ex+1)-(-1){10(-x)10-7(-x)8}/(e-x+1)

   =(10x10-7x8)/(ex+1)+(10x10-7x8)ex/(ex+1)

   =(10x10-7x8)(ex+1)/(ex+1)=10x10-7x8 だから、

 f(x)=10x11/11-7x9/9 になり、f(1)=10/11-7/9=13/99 です。

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Comments 2

There are no comments yet.
ニリンソウ  

浜辺近くになると道端に群生しているんです
乗せてもらってる車からだけど。
マスクが常となりましたが暑くはないですか?
前後に人が見えないと外したり
スーパーや屋内では絶対はずせませんが。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
単なる雑草というには、色鮮やかでよく目立ちます。
緊急事態宣言が解除されても、マスクが必要な行動はつらいですね。