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[答130] 距離の2乗和の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答130] 距離の2乗和の最小値


 BC=13,CA=11,AB=10 の△ABC があって、

 PA2+PB2+PC2 が最小になるように点Pをとるとき、その最小値は?


[解答]

 それぞれの点の位置ベクトルを、A(a),B(b),C(c),P(p) とします。(ベクトルの→を補って読んで下さい)

 PA2+PB2+PC2

  =|p-a|2+|p-b|2+|p-c|2

  =3|p|2-2(a+b+c)・p+|a|2+|b|2+|c|2

  =3{|p|2-(2/3)(a+b+c)・p}+|a|2+|b|2+|c|2

  =3|p-(1/3)(a+b+c)|2-(1/3)|a+b+c|2+|a|2+|b|2+|c|2

  =3|p-(a+b+c)/3|2+(1/3)(2|a|2+2|b|2+2|c|2-2b・c-2c・a-2a・b)

  =3|p-(a+b+c)/3|2+(1/3)(|b-c|2+|c-a|2+|a-b|2)

  =3|p-(a+b+c)/3|2+(1/3)(BC2+CA2+AB2)

  =3|p-(a+b+c)/3|2+(1/3)(132+112+102)

  =3|p-(a+b+c)/3|2+130

 従って、p=(a+b+c)/3 のとき、すなわち Pが△ABCの重心Gに一致するときに最小値 130 になります。

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Comments 3

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ヤドカリ  
No title

xy平面上での座標を使った計算よりベクトルの方が一般化が容易です。
また、複素平面を使うと、|p-a|^2 の計算が、共役複素数を掛けることになり厄介です。

アキチャン  
No title

こんばんわ。
最近、数学の問題に関わってません・・・ゴメンナサイね f(^_^;
お花・・・きれいですネ (o^-^o)
珍しいですね・・・ツツジの品種でしょうか!

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントを有難う御座います。
アザレアの鉢が並んでいた中にあったので、アザレアの1つかと……。