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[答1401] 定積分で表された関数の値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1401] 定積分で表された関数の値


 0x etf(x-t)dt = 2x6-2x4+x2 を満たす関数 f(x) について、

 f(1)=? f(2)=? f(3)=?


[解答1]

 u=x-t とおけば、du=-dt ,t=0 のとき u=x ,t=x のとき u=0 だから、

 0x etf(x-t)dt = -x0 ex-uf(u)du = ex0x e-uf(u)du になり、

 ex0x e-uf(u)du = 2x6-2x4+x2 ……(1) 、

 両辺を微分して、

 ex0x e-uf(u)du + f(x) = 12x5-8x3+2x ……(2) 、

 (2)-(1) より、

 f(x)=(12x5-8x3+2x)-(2x6-2x4+x2)=-2x6+12x5+2x4-8x3-x2+2x です。

 f(1)=-2・16+12・15+2・14-8・13-12+2・1=5 、

 f(2)=-2・26+12・25+2・24-8・23-22+2・2=224 、

 f(3)=-2・36+12・35+2・34-8・33-32+2・3=1401 です。


[解答2]

 0x et-xf(x-t)dt = (2x6-2x4+x2)e-x であり、

 u=x-t とおけば、du=-dt ,t=0 のとき u=x ,t=x のとき u=0 だから、

 0x et-xf(x-t)dt = -x0 e-uf(u)du = 0x e-uf(u)du だから、

 0x e-uf(u)du = (2x6-2x4+x2)e-x です。

 x=0 を代入すれば成り立つので、両辺をxで微分しても同値です。

 e-xf(x)=(12x5-8x3+2x)e-x-(2x6-2x4+x2)e-x

 f(x)=(12x5-8x3+2x)-(2x6-2x4+x2) 、

 f(x)=-2x6+12x5+2x4-8x3-x2+2x です。

 f(1)=-2・16+12・15+2・14-8・13-12+2・1=5 、

 f(2)=-2・26+12・25+2・24-8・23-22+2・2=224 、

 f(3)=-2・36+12・35+2・34-8・33-32+2・3=1401 です。

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Comments 2

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ニリンソウ  

ムギセンノウって名前が気に成って漢字では?
麦仙翁・・ナデシコ科 ヨーロッパ原産なんですね
ひょろひょろと背が高くて
小さな庭では無理だなと諦めています。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
フシグロセンノウという日本固有の山野草があります。
調べると、やはり同じ漢字でした。
アグロステンマと覚えてもすぐ忘れます。