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[答1403] 6200元連立方程式

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1403] 6200元連立方程式


 x1/(x1+1)=x2/(x2+2)=x3/(x3+3)=……=x6200/(x6200+6200) ,

 x1+x2+x3+……+x6200=100 のとき、x477=?

 また、1/x1 ,1/x2 ,1/x3 ,…… ,1/x6200 のうち、自然数は何個?


[解答1]

 k=1,2,3,……,6200 において、xk/(xk+k)=x1/(x1+1) より、

 xk(x1+1)=x1(xk+k) 、x1xk+xk=x1xk+kx1

 xk=kx1 です。

 x1+x2+x3+……+x6200=(1+2+3+……+6200)x1=100 、

 6200・6201x1/2=100 、x1=200/(6200・6201)=1/(31・6201) 、

 xk=k/(31・6201) です。

 よって、x477=477/(31・6201)=1/(31・13)=1/403 です。

 次に、1/xk=31・6201/k=31・13・477/k=32・13・31・53/k であり、

 これが自然数だから、kは 32・13・31・53 の約数、

 このうち、6200より大きいのは、31・6201/1 ,31・6201/3 ,31・6201/9 ,31・6201/13 ,31・6201/31 、

 よって、3・2・2・2-5=19 個です。


[解答2]

 k=1,2,3,……,6200 において、xk/(xk+k)=a とおきます。

 xk/(xk+k) の分子と分母の値は異なるので、a≠1 です。

 xk=a(xk+k) 、(1-a)xk=ka 、xk=ka/(1-a) です。

 1+2+3+……+6200=6200・6201/2=3100・6201 だから、

 x1+x2+x3+……+x6200=3100・6201a/(1-a)=100 、

 a/(1-a)=1/(31・6201) 、xk=ka/(1-a)=k/(31・6201) になります。

 よって、x477=477/(31・6201)=1/(31・13)=1/403 です。

 次に、1/xk=31・6201/k=31・13・477/k=32・13・31・53/k であり、

 これが自然数だから、kは 32・13・31・53 の約数、

 このうち、6200より大きいのは、31・6201/1 ,31・6201/3 ,31・6201/9 ,31・6201/13 ,31・6201/31 、

 よって、3・2・2・2-5=19 個です。


[解答3]

 加比の理により、

 x1/(x1+1)=x2/(x2+2)=x3/(x3+3)=……=x6200/(x6200+6200)

  =(x1+x2+x3+……+x6200)/(x1+1+x2+2+x3+3+……+x6200+6200)

  =100/(100+6200・6201/2)=1/(1+31・6201) 、

 k=1,2,3,……,6200 において、xk/(xk+k)=1/(1+31・6201) 、

 (1+31・6201)xk=xk+k 、xk=k/(31・6201) になります。

 よって、x477=477/(31・6201)=1/(31・13)=1/403 です。

 次に、1/xk=31・6201/k=31・13・477/k=32・13・31・53/k であり、

 これが自然数だから、kは 32・13・31・53 の約数、

 このうち、6200より大きいのは、31・6201/1 ,31・6201/3 ,31・6201/9 ,31・6201/13 ,31・6201/31 、

 よって、3・2・2・2-5=19 個です。

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Comments 2

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ニリンソウ  

今旬ですね~ 匂いですぐ気が付きますが
尤もアカガシ・スダジイ、等もこんな花ですね。

梅雨入りしましたね。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
義母の家には栗の木があって、よく栗を送ってくれました。
その義母が亡くなったのはちょうど栗の季節でした。
栗の花を見て思い出して撮りました。