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[答1404] 不定方程式

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1404] 不定方程式


 m3=2mn+2n2 を満たす自然数の組(m,n)のうち、nが40000に近いものは?

 nが 40000より小さいもので最大のものと 40000より大きいもので最小のものを求めて下さい。


[解答1]

 m3=2mn+2n2 より 2m3+m2=m2+4mn+4n2 、m2(2m+1)=(m+2n)2 だから、

 2m+1 は奇数の平方数ですので、自然数kを用いて 2m+1=(2k+1)2 と表せます。

 2m+1=(2k+1)2 より m=2k2+2k=2k(k+1) 、m2(2m+1)=(m+2n)2 より m+2n=m√(2m+1) 、

 n=(m/2){√(2m+1)-1}=k(k+1){(2k+1)-1}=2k2(k+1) です。

 2・262・27=36504 ,2・272・28=40824 だから、k=26,27 として、

 (m,n)=(1404,36504),(1512,40824) です。


[解答2]

 m3=2mn+2n2 より m3=2n(m+n) 、両辺を m2 で割って、m=2(n/m)(1+n/m) 、

 n/m が既約分数で b/a と表されるものとすると、m=2(b/a)(1+b/a)=2b(a+b)/a2

 2b(a+b) と a2 の最大公約数は aが奇数であれば 1,偶数であれば 2 ですので、 

 2b(a+b)/a2 が自然数になるのは a=1 のときだけです。

 従って、m=2b(1+b) 、n/m=b ですので、n=bm=2b2(1+b) です。

 2・262・27=36504 ,2・272・28=40824 だから、b=26,27 として、

 (m,n)=(1404,36504),(1512,40824) です。

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Comments 4

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ほんとはメゾソプラノ  

赤い、もしゃもしゃしたのは花なんでしょうか?
また変わった植物ですね!

最近、急に転職することにしたので忙しく
趣味の比重が家で黙々とできる工作にシフトしています
コーラスもどうするか分岐点にきているような気がします

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ほんとはメゾソプラノさん、コメントを有難うございます。
これは、スモークツリーの花です。
明日の記事で白いのもアップしますのでご覧ください。

ニリンソウ  

中に見える小さなのが種か花か?
ホントに不思議な木ですよね。

赤いのは葉も銅葉かな。

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: タイトルなし

ニリンソウさん、コメントを有難うございます。
スモークツリーは面白い花ですね。
小さな丸いのが花か種か、機会があれば、じっくり観察します。