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[答1405] 長さの積の最小値

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1405] 長さの積の最小値


 AB=12,BC=37 である 長方形ABCD の、辺CD上に点Pを,辺DA上に点Qをとります。
1405-積の最小0
 このとき、長さの積 PA・PB の最小値は? また、QB・QC の最小値は?


[解答1]

 DP=x (0≦x≦12) ,f(x)=PA2・PB2 とおけば、

 f(x)={x2+372}{(x-12)2+372} 、

 f'(x)=2x{(x-12)2+372}+2(x-12){x2+372}=2x(x-12)2+372・2x+2(x-12)x2+372・2(x-12)

  =2x(x-12)(x-12+x)+372・2(x+x-12)=2(2x-12){x(x-12)+372}=4(x-6){(x-6)2+1333}

 よって、f(x) の最小値は f(6)=(62+372)2=14052 、PA・PB の最小値は 1405 です。

 AQ=y (0≦y≦37) ,g(y)=QB2・QC2 とおけば、

 g(y)={y2+122}{(y-37)2+122} 、

 g'(y)=2y{(y-37)2+122}+2(y-37){y2+122}=2y(y-37)2+122・2y+2(y-37)y2+122・2(y-37)

  =2y(y-37)(y-37+y)+122・2(y+y-37)=2(2y-37){y(y-37)+122

 y(y-37)+122=0 の解を a,b (a<b) とすれば、0<a<37/2<b<37 で、g(y) の最小値は g(a) か g(b) です。

 a2=37a-122 ,b2=37b-122 で、

 g(a)={a2+122}{(a-37)2+122}=(a2+122)(a2-74a+372+122)

  =(37a-122+122)(37a-122-74a+372+122)=37a(-37a+372)=-372(a2-37a)

  =-372(37a-122-37a)=372・122

 同様に g(b)=372・122 、g(y) の最小値は 372・122 、QB・QC の最小値は 37・12=444 です。


[解答2]

 DP=a,CP=b とおけば、a+b=12 、a2+2ab+b2=122 、a2+b2=122-2ab です。

 また、相加・相乗平均の関係により √(ab)≦(a+b)/2=6 、ab≦36 です。

 PA2・PB2=(a2+372)(b2+372)=(ab)2+372(a2+b2)+374=(ab)2+372(122-2ab)+374=(ab-372)2+372・122

 よって、ab=36 のとき、すなわち a=b=6 のとき 最小になり、PA・PB=62+372=1405 です。

 AQ=c,DQ=d とおけば、c+d=37 、c2+2cd+d2=372 、c2+d2=372-2cd です。

 また、相加・相乗平均の関係により √(cd)≦(c+d)/2=37/2 、cd≦1369/4 です。

 QB2・QC2=(c2+122)(d2+122)=(cd)2+122(c2+d2)+124=(cd)2+122(372-2cd)+124=(cd-122)2+122・372

 よって、cd=122 のとき 最小になり、QB2・QC2=122・372 、QC・QD=12・37=444 です。


[解答3]
1405-積の最小
 △ABP=(1/2)・PA・PB・sin∠APB=(1/2)・12・37 、PA・PB・sin∠APB=12・37 ですので、

 PA・PB の最小になるのは、sin∠APB が最大のときで、△ABPの外接円を描けば、

 弦ABは一定ですので、外接円が最小のとき、すなわち、PがCDの中点のときです。

 このとき、PA=PB=√(62+372)=√1405 、PA・PB=1405 です。

 △BCQ=(1/2)・QB・QC・sin∠BQC=(1/2)・12・37 、QB・QC・sin∠BQC=12・37 ですので、

 PA・PB の最小になるのは、sin∠BQC が最大のときで、BCを直径とする円を描けば、

 ADと交わり、その交点をQとすれば、∠BQC=90゚ 、sin∠BQC=1 は最大です。

 このとき、QB・QC=12・37=444 です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンアーベント ^^

[解答3]でしたのに...sin90°が最大なことに気づけず...あずりましたわ ^^;
その時のQは2点取れ、最初と同じようにした場合は...2番目に小さい解でしたのね ^^;;

三角方程式の方未だ気づけず...^^;;;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
「その時のQは2点取れ」その点に近いほど積は小さくなります。
三角方程式の方は、最初から考え直すと良いと思います。