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[答1406] 三角方程式

ヤドカリ

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[答1406] 三角方程式


 cos(θ)+cos(2θ)+cos(3θ)+……+cos(37θ)=0 ,0≦θ<38π を満たすθの個数は?

 そのθの個数をnとし、小さいものから θ1 ,θ2 ,θ3 ,……,θn とするとき、

 θ2-θ1 ,θ3-θ2 ,θ4-θ3 ,……,θn-θn-1 の最小値は?


[解答1]

 f(θ)=cos(θ)+cos(2θ)+cos(3θ)+……+cos(37θ) とおけば、

 f(θ+2π)=f(θ) ですので、0≦θ<38π での解の個数は 0≦θ<2π での解の個数の 19倍です。

 sin(θ/2)=0 とすれば、θ=2kπ (kは整数) ですので、

 cos(θ)=cos(2θ)=cos(3θ)=……=cos(37θ)=1 になり、成り立ちません。

 2sin(θ/2)cos(kθ)=sin(θ/2+kθ)+sin(θ/2-kθ)=-sin(kθ-θ/2)+sin(kθ+θ/2) だから、

 cos(θ)+cos(2θ)+cos(3θ)+……+cos(37θ)=0 の両辺に 2sin(θ/2) を乗ずれば、

 -sin(θ/2)+sin(3θ/2)-sin(3θ/2)+sin(5θ/2)-……-sin(73θ/2)+sin(75θ/2)=0 、

 sin(75θ/2)-sin(θ/2)=0 、2cos(19θ)sin(37θ/2)=0 ですので、kを整数として、

 19θ=kπ-π/2 ,37θ/2=kπ だから、θ=(2k-1)π/38 ,2kπ/37 です。

 ただし、2kπ/37 において、kが37の倍数であれば sin(θ/2)=0 ですので、これを除きます。

 0≦θ<2π の範囲では、

 θ=π/38,3π/38,5π/38,……,75π/38 と θ=2π/37,4π/37,6π/37,……,72π/37 の

 74個あり、0≦θ<38π では 74・19=1406 個です。

 また、a,b を整数として、|aπ/38-bπ/38|=|a-b|π/38 ,|aπ/37-bπ/37|=|a-b|π/37 ,

 |aπ/38-bπ/37|=|37a-38b|π/1406 で、|a-b| ,|37a-38b| は 自然数であり、

 実際に、37π/38-36π/37=π/1406 ( 38π/37-39π/38=π/1406 ) ですので、

 θ2-θ1 ,θ3-θ2 ,θ4-θ3 ,……,θn-θn-1 の最小値は π/1406 です。


[解答2]

 z=cos(θ)+i・sin(θ) とおけば、kを整数として、zk=cos(kθ)+i・sin(kθ) 、

 zk+z-k=cos(kθ)+i・sin(kθ)+cos(kθ)-i・sin(kθ)=2cos(kθ) 、

 2cos(θ)+2cos(2θ)+2cos(3θ)+……+2cos(37θ)=0 より、

 z+z-1+z2+z-2+z3+z-3+……+z37+z-37=0 、

 z-37+……+z-3+z-2+z-1+1+z+z2+z3+……+z37=1 、

 z≠1 であり、z-37(1-z75)/(1-z)=1 、1-z75=z37(1-z) 、z75-z38+z37-1=0 、

 (z37-1)(z38+1)=0 、z37=1 または z38=-1 です。

 0≦θ<2π の範囲では、z≠1 より θ≠0 ですので、

 z37=1 のとき、37θ=2π,4π,6π,……,72π 、

 θ=2π/37,4π/37,6π/37,……,72π/37 の 36個、

 z38=-1 のとき、38θ=π,3π,5π,……,75π 、

 θ=π/38,3π/38,5π/38,……,75π/38 の 38個、

 合計74個あり、0≦θ<38π では 74・19=1406 個です。

 また、a,b を整数として、|aπ/38-bπ/38|=|a-b|π/38 ,|aπ/37-bπ/37|=|a-b|π/37 ,

 |aπ/38-bπ/37|=|37a-38b|π/1406 で、|a-b| ,|37a-38b| は 自然数であり、

 実際に、37π/38-36π/37=π/1406 ( 38π/37-39π/38=π/1406 ) ですので、

 θ2-θ1 ,θ3-θ2 ,θ4-θ3 ,……,θn-θn-1 の最小値は π/1406 です。

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Comments 4

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンターク ^^

わたしは...
x^76=1
のx軸の上下の点(それぞれ37個)のx座標は、奇数(1〜37)πで左右が入れ替わり、偶数(0〜36)πで元に戻るので、
2*37*19=1406個
で...
kθ-(k+1)θ=偶数πθ-奇数πθ=-π が最小と考えましたけど...

意味が違ってるわけですのね...^^;;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
x=cosθ+i・sinθ のことでしょうか?
このあたりがよく分からないのでコメントに困りました。

スモークマン  
グーテンアーベント ^^

あっ、そうです...
x=cosθ+i・sinθ
のcosθがy軸対称になるように存在してればいいというあたりから突入しましたです ^^;...

後半の文章の意味がよくつかめませんでしたので...あさっての方向に行ってしまったのかもです...
いまだに、よくわかってません Orz...

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
説明なしで文字や式が出てくると、多分、こうだろうと想像するのですが、
それが貴殿の意図かどうか分かりません。