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[答1409] 連立方程式の解の個数

ヤドカリ

ヤドカリ

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[答1409] 連立方程式の解の個数


 a(b+c+d+e)=b(c+d+e+a)=c(d+e+a+b)=d(e+a+b+c)=e(a+b+c+d) を満たす、

 絶対値が 64以下の整数の組(a,b,c,d,e)の個数は?


[解答]

 a+b+c+d+e=p ,

 a(b+c+d+e)=b(c+d+e+a)=c(d+e+a+b)=d(e+a+b+c)=e(a+b+c+d)=q とおけば、

 a(p-a)=b(p-b)=c(p-c)=d(p-d)=e(p-e)=q ですので、

 a,b,c,d,e は x(p-x)=q の解、すなわち、x2-px+q=0 の解です。

 x2-px+q=0 の解を x=m,n (a,b,c,d,e のうち多い方を m,少ない方を n)とすれば、

 p=5m または p=4m+n または p=3m+2n であり、解と係数の関係により、p=m+n です。

 p=5m のとき、(a,b,c,d,e)=(m,m,m,m,m) 、-64≦m≦64 の 129個、

 p=4m+n のとき、4m+n=m+n 、m=0 ですので、

  (a,b,c,d,e)=(n,0,0,0,0) (1≦|n|≦64) とその並べかえたもので、5・64・2=640個、

 p=3m+2n のとき、3m+2n=m+n 、n=-2m ですので、

  (a,b,c,d,e)=(m,m,m,-2m,-2m) (1≦|m|≦32) とその並べかえたもので、10・32・2=640個、

 よって、129+640+640=1409 個です。

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Comments 2

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スモークマン  
グーテンターク ^^

そっか...^^

> x2-px+q=0 の解を x=m,n (a,b,c,d,e のうち多い方を m,少ない方を n)とすれば、
> p=5m または p=4m+n または p=3m+2n であり、解と係数の関係により、p=m+n です。

と考えればよかったのね☆

場合分けが面倒な方針で考えましたわ...^^;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
同じ結論でも、考え方によってスッキリすることがあります。
そんな考え方を思いつけば嬉しいですね。