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[答1410] パスカルの三角形もどき

ヤドカリ

ヤドカリ

P6270450.jpg



[答1410] パスカルの三角形もどき


 図のように、上から1段目を 1,10 から始めて、

 2段目からは 左端が 1,右端が 10 ,間は1つ上の段の斜め上の数の和を

 パスカルの三角形の要領で書いていきます。
1410-パスカル△0
 上からn段目の数を 左から P(n,0),P(n,1),P(n,2),……,P(n,n) で表すとき、

 P(11,4)=? また、P(19,15)=?


[解答1]

 1段目は 1+10x の係数、

 2段目は (1+10x)(1+x)=1+11x+10x2 の係数、

 3段目は (1+11x+10x2)(1+x)=1+12x+21x2+10x3 の係数、

  …………

 ですので、n段目は (1+10x)(1+x)n-1 の展開式の係数を並べたもので、

 P(n,k) は xk の係数です。

 (1+10x)(1+x)n-1=(1+x)n-1+10x(1+x)n-1 だから、

 P(n,k)=n-1k+10・n-1k-1 です。

 P(11,4)=104+10・103=210+10・120=1410 、

 P(19,15)=1815+10・1814=816+10・3060=31416 です。


[解答2]

 1段目を 1,0 から始め、P(n,k) の位置の数を Q(n,k) とすれば、Q(n,k)=n-1k

 1段目を 0,10 から始め、P(n,k) の位置の数を R(n,k) とすれば、R(n,k)=10・n-1k-1
1410-パスカル△
 P(n,k)=n-1k+10・n-1k-1=(n-1)!/{k!・(n-k-1)!}+10・(n-1)!/{(k-1)!・(n-k)!}

  =(n-1)!・(n-k+10k)/{k!・(n-k)!}=n!・(n+9k)/{k!・(n-k)!・n}=(n+9k)・nk/n です。

 P(11,4)=47・114/11=47・10・9・8/4!=47・10・3=1410 、

 P(19,15)=154・1915/19=154・194/19=154・18・17・16/4!=154・3・17・4=31416 です。

.
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Comments 2

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-  
グーテンターク ^^

わたしは...
   1,(1+9)
1,(2+9),(1+9)
1,(3+9),(3+2*9),(1+9)
  1,(4+9),(6+3*9),(4+3*9),(1+9)
1,(5+9),(10+4*9),(10+6*9),(5+4*9),(1+9)
...
so...以下のように表現できる ^^
p(n,k)=c(n,k)+c(n-1,k-1)*9
so...
p(11,4)=c(11,4)+c(10,3)*9=330+120*9=1410 ♪
p(19,15)=c(19,4)+c(18,4)*9=3876+3060*9=31416

と求めましたが...
[解答2]が、明らかにスマートでした ^^;☆

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンターク ^^

スモークマンさん、コメントを有難うございます。
パスカルの三角形2個の重なりですが、
どんな重なりと見るかで途中がちがいますよね。